实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案.pdf

第一章习题参考解答 第一章习题参考解答 3 ．等式(A B) C A (B C) 成立的的充要条件是什么？ 解： 若(A B) C A (B C) ，则 C  (A B) C A (B C)  A . 即，C  A . 反过来, 假设C  A , 因为B C B . 所以, A B  A (B C) . 故, (A B) C  A (B C) . 最后证，A (B C)  (A B) C 事实上，x A (B C) , 则x A 且x B C 。若x C ，则x (A B) C ； 若x C ，则x B ，故x A B  (A B) C . 从而, A (B C)  (A B) C . C  (A B) C A (B C)  A  A . 即 C  A . 反过来，若C  A ，则 因为B C B 所以A B  A (B C) 又因为C  A ， 所以C  A (B C) 故 (A B) C  A (B C) 另一方面， 且x B C ，如果x C 则 ； x A (B C) x A x (A B)  C 如果 x C, 因为x B C ，所以x B 故 x A B . 则 x (A B) C . 从而 A (B C)  (A B) C 于是，(A B) C A (B C) 1, x A 4 ．对于集合A，定义A 的特征函数为 (x)  ，假设A , A ,, A 是 A 1 2 n 0, x A  一集列 ，证明： （i ） (x) lim inf  (x) liminf A A n n n n （ii ） (x) lim sup (x) lim supA An n n n 证明：（i ）x lim inf A (  A ) ， n0 N ，m  n 时，x A . n n 0 m n nN mn 所以 (x) 1，所以inf  (x) 1故lim inf  (x) supinf  (x) 1 A A