指数函数经典例题和课后练习题.docVIP

PAGE 13 PAGE 1 指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 问题：指数函数定义中，为什么规定“”如果不这样规定会出现什么情况？ (1)若a0会有什么问题？（如则在实数范围内相应的函数值不存在） (2)若a=0会有什么问题？（对于,无意义） (3)若 a=1又会怎么样？（1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.） 师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定且 . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下： 指数函数平移问题（引导学生作图理解） 用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=的图象的关系（作图略）， ⑴y=与y=. ⑵y=与y=. f(x)的图象 向左平移a个单位得到f(x＋a)的图象; 向右平移a个单位得到f(x－a)的图象; 向上平移a个单位得到f(x)＋a的图象; 向下平移a个单位得到f(x)－a的图象. 指数函数·经典例题解析 ?(重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域： 解 (1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3， 及时演练求下列函数的定义域与值域 （1）；　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）； （3）； 【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A．a＜b＜1＜c＜d 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．a＜b＜1＜d＜c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 C． b＜a＜1＜d＜c 　　　　　　　　　　　　　　 D．c＜d＜1＜a＜b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c． 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 　　　 　　　 【例3】比较大小： (3)4.54.1________3.7 解 (3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.7 ∴ 4.54.1＞3.73.6 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3) 及时演练（1）1.72.5 与 1.73　　　　　　　　　　　　　( 2 )与 ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）和　　 【例５】已知函数f(x)＝a－eq \f(1,2x＋1)，若f(x)为奇函数，则a＝________. 【解析】　解法1：∵f(x)的定义域为R，又∵f(x)为奇函数， ∴f(0)＝0，即a－eq \f(1,20＋1)＝0.∴a＝eq \f(1,2). 解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即a－eq \f(1,2－x＋1)＝eq \f(1,2x＋1)－a，解得a＝eq \f(1,2). 【答案】　eq \f(1,2) 及时演练 当x＝0时，函数y有最大值为1． (1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域； (3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解 (1)定义域是R． ∴函数f(x)为奇函数． 即f(x)的值域为(－1，1)． (3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2) 备选例题 1．比较下列各组数的大小： 　　（1）若 ，比较 与 ； 　　（2）若 ，比较 与 ； 　　（3）若 ，比较 与 ； 　　（4）若 ，且 ，比较a与b； 　　（5）若 ，且 ，比较a与b． 　　　解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ． 　　（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ． 　　（3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ． 　　（4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． 　　（5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． 　　小结：比较通常借