基本不等式经典例题精讲(1).docVIP

第 PAGE 8 页 共 NUMPAGES 8 页 新课标人教A版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x＜，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0与x＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x＜,∴1-3x＞0. ∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)≤［］2=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成立.∴x=时，函数取得最大值. 解法二：∵0＜x＜,∴-x＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］2=，当且仅当x=-x,即x=时，等号成立. ∴x=时，函数取得最大值. （2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+≥2=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x＜0时，y=x+=-［(-x)+］. ∵-x＞0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+≤-2. 综上,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x＞-1时，求f(x)=x+的最小值. 思路分析：x＞-1x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数. 解：∵x＞-1,∴x+1＞0. ∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1. 当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min=1. 变式训练2求函数y=的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开. 解：令t=x2+1，则t≥1且x2=t-1. ∴y==. ∵t≥1,∴t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时，等号成立. ∴当x=0时，函数取得最小值3. 例2已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值. 思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会. 解法一：利用“1的代换”, ∵+=1, ∴x+y=(x+y)·(+)=10+. ∵x＞0,y＞0,∴≥2=6. 当且仅当，即y=3x时，取等号. 又+=1,∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. 解法二：由+=1，得x=. ∵x＞0,y＞0,∴y＞9. x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10. ∵y＞9,∴y-9＞0. ∴≥2=6. 当且仅当y-9=，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：由+=1，得y+9x=xy, ∴(x-1)(y-9)=9. ∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2=16, 当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1, ∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16. 绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响. 黑色陷阱：本题容易犯这样的错误： +≥2①,即≤1,∴≥6. ∴x+y≥2≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12. 产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是=，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论. 变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值. 思路分析：本题属于“1”的代换问题. 解：x+y=(x+y)()=a++b=10+. ∵x,y＞0,a,b＞0， ∴x+y≥10+2=18，即=4. 又a+b=10， ∴或 例3求f(x)=3+lgx+的最小值（0＜x＜1）. 思路分析：∵0＜x＜1, ∴lgx＜0,＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数. 解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,＜0.∴-＞0. ∴(-lgx)+(-)≥2=4. ∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1. 当且仅当lgx=,即x=时取得等号. 则有f(x)=3+lgx+ (0＜x＜1)的最小值为-1. 黑色陷阱：本题容易忽略0＜x＜1这一个条件. 变式训练1已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值. 思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意