数列通项公式、前n项和求法总结(全).docVIP

第 PAGE 11页 一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。 特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）． 例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式. 变式练习： 1.等差数列中,求的通项公式 2. 在等比数列中,,且为和的等差中项,求数列的首项、公比及前项和. 2.公式法 求数列的通项可用公式求解。 特征：已知数列的前项和与的关系 例2.已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。 （1）。 （2） 变式练习： 1. 已知数列的前n项和为，且=2n2+n，n∈N﹡，数列满足=4log2+3，n∈N﹡.求，。 2. 已知数列的前n项和（）,且Sn的最大值为8，试确定常数k并求。 3. 已知数列的前项和.求数列的通项公式。 3.由递推式求数列通项法 类型1 特征：递推公式为 对策：把原递推公式转化为，利用累加法求解。 例3. 已知数列满足，，求。 变式练习： 1. 已知数列满足，求数列的通项公式。 2.已知数列： 求通项公式 类型2 特征：递推公式为 对策：把原递推公式转化为，利用累乘法求解。 例4. 已知数列满足，，求。 变式练习： 1.已知数列中，，，求通项公式。 2.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），求数列的通项公式是 类型3 特征：递推公式为（其中p，q均为常数） 对策：（利用构造法消去q）把原递推公式转化为由得两式相减并整理得构成数列以为首项，以为公比的等比数列.求出的通项再转化为类型1（累加法）便可求出 例5. 已知数列中，，，求. 变式练习： 1. 数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式。 2. 已知数列满足=1，.证明是等比数列，并求的通项公式。 类型4特征：递推公式为（其中p为常数） 对策：（利用构造法消去p）两边同时除以可得到，令，则，再转化为类型1（累加法），求出之后得 例6．已知数列满足，求数列的通项公式。 变式练习：已知数列满足， ，求． 二.数列的前n项和的求法总结 1.公式法 （1）等差数列前n项和： （2）等比数列前n项和： q=1时， 例1. 已知，求的前n项和. 变式练习： 1.设等比数列的前项和为.已知求和. 2.设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，，。 （1）求，； （2）求数列的前n项和。 2.错位相减法 ①若数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法. ②将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列的前项和. 例2.求的和 变式练习： 1. 已知数列的前n项和为,且=,n∈N﹡,数列满足n∈N﹡. (1)求,; (2)求数列的前n项和. 2.若公比为c的等比数列的首项为，且满足。 （1）求c的值；（2）求数列的前n项和 3.倒序相加法 如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征： 把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 例3. 变式练习： 求的和． 2. 求的值。 4.裂项相消法 一般地，当数列的通项 时，往往可将变成两项的差，采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项： 设，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得，从而可得 常用裂项形式有： ① ； ② ； ③ ，； ④ ； ⑤ 例4.求数列，，，…，，…的前n项和S. 变式练习： 1. 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和. 2. 等比数列的各项均为正数，且 ( = 1 \* ROMAN I)求数列的通项公式. ( = 2 \* ROMAN II)设 求数列的前项和. 5.分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步： = 1 \* GB3 ①找通向项公式 = 2 \* GB3 ②由通项公式确定如何分组. 例5.求数列，的前项和． 变式练习： 1.求数列的前n项和 2.若数列的通项公式，求的前n项和 6.记住常见数列的前项和： ① ② ③ 例6.求的和． 变式练习：求数列的前n项和.