第七章 线性变换的矩阵.pptVIP

* * * §2 线性变换的运算 　　　 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §1 线性变换的定义 §6线性变换的值域与核 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 §7不变子空间 小结与习题 第七章 线性变换 §5 对角矩阵 一、线性变换与基 二、线性变换与矩阵 §7.3 线性变换的矩阵 三、相似矩阵 一、 线性变换与基 的线性变换. 则对任意 　　　存在唯一的一组数 1．设　　　　　是线性空间V的一组基，　为V 使 从而， 由此知，　　由 　　　　　　　完全确定. 一组基在　下的象即可. 所以要求V中任一向量在　下的象，只需求出V的 2．设　　　　　是线性空间V的一组基，　　为 V的线性变换，若 则 由已知，即得 由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定. 证：对 证： 定义 都存在线性变换　使 任意n个向量 3．设　　　　　是线性空间V的一组基，对V中 易知　为V的一个变换，下证它是线性的. 任取　　　　　设 则 于是 为V的线性变换. 又 由2与3即得 定理1　设　　　　为线性空间V的一组基， 对V中任意n个向量　　　　　　存在唯一的线性 变换　　使 设　　　　　为数域P上线性空间V的一组基， 为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设 用矩阵表示即为 二、 线性变换与矩阵 1．线性变换的矩阵 其中 ② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； ① A的第i列是　　 在基　　　　　下的坐标， 矩阵A称为线性变换　在基　　　　　下的矩阵. 注： 它是唯一的. 故　在取定一组基下的矩阵是唯一的. 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵； 例1. 设线性空间　 的线性变换　为 求　在标准基　　　　下的矩阵. 解： 例2. 设　　　　　　　　为n维线性空间V的子空 间W 的一组基，把它扩充为V的一组基： 并定义线性变换　： 则 称这样的变换　为对子空间W的一个投影. 易验证 2．线性变换运算与矩阵运算 定理2 设　　　　为数域P上线性空间V的一组 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： 基，在这组基下，V的每一个线性变换都与　　 中 ① 线性变换的和对应于矩阵的和； ② 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ③ 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应 于逆矩阵. 证：设　　为两个线性变换，它们在基 下的矩阵分别为A、B，即 ① 　∴　　 在基 下的矩阵为A＋B. ② ∴ 　 在基 下的矩阵为AB. ③ ∴　　 在基 下的矩阵为 ④ 由于单位变换(恒等变换)　对应于单位矩阵E. 相对应. 因此，可逆线性变换　与可逆矩阵A对应，且 所以， 与　　AB＝BA＝E 逆变换　 对应于逆矩阵 注： 事实上，任意取定V的一组基　　　　　后， 对任意　　　　，定义　： 这里A为　在基　　　　　下的矩阵. 则　就是　　到　　的一个同构映射. 3．线性变换矩阵与向量在线性变换下的象 定理3 设线性变换　在基 　　　　下的矩阵为A, 在基　　　　　下的坐标为　 在基　　　　　下的坐标为　 则有 证：由已知有 又 由于 线性无关，所以 4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系 下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡 矩阵矩阵是X，则 (Ⅱ) (Ⅰ) 定理4 设线性空间V的线性变换　在两组基　　　　　 证：由已知，有 于是， 由此即得 三、相似矩阵 1．定义 设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆 矩阵 　 使得 则称矩阵A相似于B，记为 （1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质： ① 反身性： ② 对称性： 2．基本性质 ③ 传递性： （2） 定理5 线性变换在不同基下的矩阵是相似的； 同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.　 反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作 证：前一部分显然成立. 下证后一部分. 设 且A是线性变换 在基 　　　　下的矩阵. 显然， 也是一组基， 矩阵就是B. 且　在这组基下的 （3）相似矩阵的运算性质 ① 若　　　　 　　则 即， 特别地， ② 若　　　　　　　　　　　　则 例3.设 为线性空间V一组基， 线性变换　在 这组基下的矩阵为 为V的另一组基，且 （1）求 在 下的矩阵B. （2）求 解：（1）由定理4，　在基　　　下的矩阵 （2）由