4.7：单叶双曲面与双曲抛物面的直母线.pptVIP

* § 4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线 柱面与锥面都可以由一族直线所构成，这种由一族直线所构成的曲面叫做直纹曲面. 而构成曲面那族直线叫做曲面的一族直母线. 柱面与锥面都是直纹曲面. 单叶双曲面与双曲抛物面上包含直线吗? 因而它们都是直纹曲面. 下面我们来证明: 这两曲面不仅含有直线，而且可以由一族直线所构成. 我们虽然很弯曲, 但是我们都由直线构成, 你相信吗? 首先考虑单叶双曲面 （1） 其中 为正常数， 把（1）改写为 或者 （2） (2)与(1)等价吗? 等价! （2） 现在引进不等于零的参数u, 将上述方程写为: 改写为: (2)/ (3) (3)与(2)等价吗? 不等价! 对于给定的u, (3)表示什么曲线? 直线 （4） 与 （4）/ 考虑到(3) 与(2)相比,漏掉了下面的两个方程组 （2） (2)/ (1) (3) 也就是说 (3) 与 （4） （4）/ 合起来与单叶双曲面(1)的方程等价. 把(3),(4),(4`)合起来组成的一族直线叫做单叶双曲面的 (4)与(4)/仍然表示直线 u族直线. 方程组(4),(4`)实际上是（3）式中当参数 和 时的两种极限情形. (3) （4） （4）/ 我们是 u族直线 家族成员 现在来证明由这 族直线可以构成曲面(1)，从 而它是单叶双曲面(1)的一族直母线。 首先容易知道， 都在曲面(1)上. u族直线中任何一条直线上的点 （1） u族直线满足于 满足于 这是因为 反过来，设 是曲面(1)上的点. 下面说明这个点一定在u族直线中的某一条上. 只须证明由这个点的坐标可以确定出参数u. 是曲面(1)上的点. 所以满足单叶双曲面方程 即 （5） （5） 因此不失一般性， 假设 显然 与 不能同时为零. ????? 如果 那么取 的值使得 由(5)便得 所以点 在u直线上. 所以点 也在u直线上. 而u族直线是单叶双曲面(1)的一族直母线， 称为u族直母线 （5） 如果 那么由(5)知必有 这样就证明了曲面(1)是由u族直线所构成. 因此单叶双曲面(1)是直纹曲面. 同样可以证明由直线 （6） (其中 为不等于零的任意实数)与另两直线(相当与 (6)中当 和 的情形) （7） 与 (7)/ 合在一起组成的直线族是单叶双曲面(1)的另一族直母线.称它为单叶双曲面(1)的v族直母线. 直纹面在建筑学上有意义 含两族直母线 例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的. . 单叶双曲面是直纹面 推论 对于单叶双曲面上的点，两族直母线 中各有一条直母线通过这点. 为了避免取极限，我们常把单叶双曲面(1)的u 族直母线写成 （4.7-1） 其中 不同时为零。当 时，各式除以 式子就化为(3)；当 时便化成(4)； 当 时便化成(4`). (3) （4.7-2） 其中 不同时为零. 对于双曲抛物面 而v族直母线写成 同样地可以证明它也有两族直母线 它们的方程分别是 (4.7-3) （4.7-4） 与 分别称为u族和v族直母线. 含两族直母线 双曲抛物面是直纹面 也有下面的推论： 推论 对于双曲面与抛物面上的点，两族直母 线中各有一条直母线通过这一点. 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线，在建筑上 有着重要的应用，常常用它来构成建筑的骨架。 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有下面的一些性质： 定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共 面而双曲抛物面上异族的任意两直母线 必相交. *