63二次型的规范型.pptVIP

* * 中南财经政法大学信息系 第六章 二次型 设 (标准型) 令 令 所以, 二次型的标准型不唯一. 一、 概念的引入 　　二次型的标准型不唯一，但标准型具有 如下共同性质： 二、惯性定理 定理 若实二次型的秩为r,则二次型的任意标准 形中所含非零项的项数为r. 其中 为对角矩阵. P可逆 设r(A)= r, 则 =B对角线上非零元素个数. 证明： 进一步可得以下结果: 定理6.5(惯性定理)：二次型的标准形中,系数为正的平方项的项数和系数为负的平方项的项数也是唯一确定的。 定义6.5 实二次型f 的标准形中，系数为正的平方项的项数为p，称为f 的正惯性指数，系数为负的平方项的项数为 ，称为f 的负惯性指数。二次型的正、负惯性指数也称为矩阵A的正、负惯性指数. 注：二次型的　　　　　的正惯性指数等于矩 阵Ａ的正特征值的重数之和. 　例１　 定义 平方项系数为1或-1的标准型称为二次型的规范型. 三、二次型的规范形 定理6.6 任一实二次型 都可经可逆的线性变换化为规范形 （6.12） 证明：将二次型 经过可逆的线性替换化为标准型,并将变量进一步进行重排可得： 使f变成规范形： 再作可逆线性变换： 用矩阵的语言描述上述定理： 定理6.7 任一实对称矩阵A合同于一个对角阵 其中-1和1的个数共 有r(Ａ)个，１的个数 等于正惯性指数. 上述矩阵成为矩阵Ａ的规范型矩阵. 推论 :两个实对称矩阵合同的充要条件为它们的秩和正负惯性指数相等. 例２ 则 A与C合同,A与B不合同. 例３ 解： 例４ 例５ 解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例６ 从而得特征值 2．求特征向量 3．将特征向量正交化 得正交向量组 * *