案例一道证明线线垂直的教学实录.DOCVIP

案例 一道证明线线垂直的教学实录 1问题提出的背景 立体几何历来是高考的一个重点，每年必有一道解答题和若干填空题。由于立体几何涉及的关系比较多（表现为概念多、定理多），这些关系之间的转化有很灵活。线线之间、线面之间、面面之间以及垂直与平行之间都可以相互转化（表现为众多的判定定理与性质定理），这就给知识的记忆﹑识别与应用都提出了较高的要求。另外，立体几何的直观图不能像平面几何那样给我们全真的视觉信息，如看似为相交成锐角的直线，其实是互相垂直的直线。基于这两点，一道在命题者看来中等难度的题目，由于很多考生得分偏低，就拉高了试题的相对难度。故在复习“空间中的垂直关系”这一知识点时，我精选例题，通过一题多解，收到了良好的效果。 2教学过程 例题 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN⊥CD 教师：你能从不同角度，不同的知识点来证明此题吗？请同学们先独立思考，然后在小组上进行讨论交流，由组长负责记录。10分钟后每组推选一名代表对本组找到的最好的一种证明方法进行“成果”交流。 学生们积极探讨，教师来回巡视，回答各研究小组的询问… 经过10分钟，各小组都找到了证明方法。 学生1：连接AC，BD交于O，连结AN，BN，ND。 ∵N，O分别是PN，AC的中点，∴NO∥PA ∵PA⊥平面ABCD，∴NO⊥平面ABCD，∴NO⊥AO，NO⊥BO 又∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO ∴Rt△NAO≌Rt△NBO,∴NA=NB,∴△ANB是等腰三角形 又∵M为AB的中点，∴MA⊥AB， 又∵AB∥CD，∴MN⊥CD 教师：很好，因为M是AB的中点，所以只要证△ANB是等腰三角形，就可以利用等腰三角形的性质，可得MN⊥CD 学生2：老师，我也是证明△ABN是等腰三角形，但我的方法与学生1不同。 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC， 在Rt△PAC中，N为PC的中点， ∴AN=PC。 ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB 从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN=PC。 ∴AN=BN，∴△ABN为等腰三角形。下面的证法与上位同学一致。 （此时，很多同学在下面点头） 教师：不错，将平面几何知识与立体几何知识运用的很好，同一种解题方法，两种不同思路，真是殊途同归，还有什么方法吗？ 学生3：老师，我取PB的中点E， 连结EN，EM，只要证明CD⊥平面EMN 证明如下： ∵E，M分别是PB，AB的中点，∴PA∥EM， ∵PA⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，∴EM⊥CD， ∵N是PC的中点，∴EN∥BC， ∵BC⊥CD，∴EN⊥CD，又EN∩EM=E ∴CD⊥平面EMN，又MN平面EMN， ∴CD⊥MN 教师：（微笑）通过构造平面EMN，在利用线面垂直的性质： 学生4：我也是利用线面垂直的性质来证明的。 取CD的中点E，连结NE，ME 由PA⊥平面PAD，∴PA⊥CD， ∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，又PA∩AD=A， ∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD， ∵N，E分别是PC，CD的中点，∴NE∥PD，∴NE⊥CD， ∵M是AB的中点，∴ME∥AD，∴ME⊥CD，ME∩NE=E ∴CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN 教师：很好，这两位同学都是通过构造平面来证明线线垂直的。请观察一下构造的两个平面有何特点？（学生讨论了一会） 学生5：我发现刚才两位同学构造的平面都与平面PAD是平行关系。所以只要证明CD⊥平面PAD，及平面EMN∥平面PAD，就可推出CD⊥平面EMN，从而得到CD⊥MN。 学生6：（跃跃欲试）老师，我还有一种解法（上台投影演示） 取PD的中点E，连结AE，NE， ∵N，E分别为PC，PD的中点， ∴NE∥CD，且NE=CD ∵M为AB的中点，且AB∥CD， ∴MA∥CD，且MA=CD， ∴NE∥MA，且NE=MA， ∴四边形AMNE是平行四边形， ∴MN∥AE， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD， 又AD⊥CD，PA∩AD=A， ∴CD⊥平面PAD，∵AE平面PAD ∴CD⊥AE，∵MN∥AE ∴MN⊥CD 教师：精彩，利用∥。显然，刚才三位同学都是构造平面，利用线面垂直的性质，证明线线垂直。那么，能否取PA或BC的中点构造平面呢？ （学生独立思考） 学生7：若取PA的中点E，构造平面EMN，不能推出CD⊥平面EMN。原因在于EN∥AC，而四边形ABCD是矩形，所以CD不垂直与AC，从而CD不垂直于EN，故CD不垂直于平面EMN 同理，去BC的中点F，可证CD不垂直于平面MNF 教师：当直线与平面不垂直时，直线仍可与----（停留片刻） 学生8：仍可与平面内的无数条直