用综合法证明不等式·教案.doc

用综合法证明不等式·教案 ? 北京市五中? 张毅 ? 教学目标 1．掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一重要定理，并能运用它们证明一些不等式． 2．了解综合法的意义． 3．通过对定理及其推论的推导、证明、应用，培养学生运用综合法进行推理论证的能力． 教学重点和难点 用综合法证明定理及推论的教学． 教学过程设计 （一）新课引入 师：我们已学过用比较法（求差、求商）证明不等式，它是一种最基本、最常用的方法．请完成以下练习． 1．证明：x2＋2＞2x（x为实数）． 2．请问：x2＋1与2x的大小关系是什么？并证明你的结论． （教师巡视学生的解题情况，请学生将不同的解法板演到黑板上） 1．证法1：由（x2+2）-2x=（x-1）2+1≥1＞0，知x2＋2＞2x． 证法2：由（x-1）2≥0，知（x-1）2+1≥1＞0，即x2-2x＋2＞0，则x2＋2＞2x． 师：两位同学的证明都正确，他们都是根据a2≥0（a≥R）．在证法上有区别吗？请大家思考． 2．答：x2＋1≥2x． 证法1：由（x2＋1）-2x=x2-2x＋1=（x-1）2≥0，知x2+1≥2x． 证法2：由（x-1）2≥0，? ① 知x2-2x＋1≥0，则x2+1≥2x．? ② 师：同学们得到的结论几乎是一致的，是x2+1≥2x．主要证法已列在黑板上，请大家思考：这些证明是否正确？所采用的方法是什么？ 生：都正确．证法一是求差比较法，证法二是…… 师：一时答不出也没关系，证法一用的是求差比较法，至于证法二，我们不妨先问问写出证法二的同学是怎么想出来的． 生：我一看到是两个“平方项”与它们的两倍“交叉项”比大小，就首先想到了平方公式，这个完全平方一定是非负的；然后再根据不等式性质，就得到了结论；最后就按这个思路进行的证明． 师：他是从已经成立的事实出发，经过正确推理，得到要证的结论．也就是说他是以公式①为基础，运用不等式的性质推出②式，这种利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法通常叫做综合法． 对于综合法大家并不陌生，初中的平面几何题大多是用综合法加以证明的． 今天我们一起研究如何用综合法证明不等式（板书课题）． （二）用综合法证明不等式 1．综合法 师：我们已经知道用综合法证明需要一些已经证明过的不等式作为基础，因此我们应先证明出一些最重要、最基本的不等式． 2．定理推导 师：通过刚才的两道小题，我们不难得出：如果a，b∈R，那么有（a-b）2≥0．把左边展开，得a2-2ab＋b2≥0，则a2＋b2≥2ab．这就是课本P8中介绍的定理1．我们采用的是综合法，课本中是用求差比较法加以证明的． （把课前准备好的课本中的这段证明投出来供大家一起阅读．此处需实物投影仪） 证明：a2＋b2-2ab=（a-b）2． 当a≠b时，（a-b）2＞0；当a=b时，（a-b）2=0． 所以（a-b）2≥0，即a2＋b2-2ab≥0．因此a2＋b2≥2ab． 师：值得我们注意的是这是带有“=”的不等式，取“=”这种特殊情况应予以重视．不等式a2＋b2≥2ab中“=”成立的充要条件是什么？ 生：是a=b． 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达，“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以定理1表述为： 定理1? 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）．（板书） 师：这个定理的功能是什么？功能往往源于它的结构． 生：公式a2＋b2≥2ab的一边是和的形式，另一边是积的形式．我想功能大概是：和可以缩小变成积，积可以放大变成和． 师：虽然语言欠准确，但其含意是对的．这个定理非常重要，且用途广泛，但由于各项都是二次的，使用时不太方便，谁有办法将它们的次数降下来？ 师：大家都同意他的作法吗？有什么不同意见吗？ 师：同学们思考问题已越来越严谨了，的确，从学生甲的方法应得到学生乙的结论，学生丙提到的条件是不可缺少的．由于有这个条件， 的情况单独提出来，做为定理1的推论． “＝”号）．（板书） 生丁：我与学生甲的想法不同．既然定理1的a2＋b2≥2ab对任意 师：学生丁的想法更自然，他直接利用定理得到推论，这个推论十 的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数． 3．定理的初步应用 师：看到这个问题，你的第一想法是什么？ 生：使用定理加以证明． 师：若想定理帮忙，首先要看是否符合定理的条件． 师：再看是否符合定理的结构． 师：实际上，我们是用定理1的推论进行证明的． （教师把证明过程板演到黑板上） 师：使用定理时，应特别注意：等号何时成立，不过这只要看定理是怎么形成的就可以了． 4．定理的推广 师：我们已研究得到两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这个结论可以推广到3，4，…，n（n∈N+）个