同济版高等数学教案第五章 定积分.docVIP

高等数学教案 第五章 定积分 天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 PAGE 1 第五章 定积分 教学目的： 理解定积分的概念。 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 定积分的性质及定积分中值定理 定积分的换元积分法与分部积分法。 牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 定积分的概念 积分中值定理 定积分的换元积分法分部积分法。 变上限函数的导数。 §5? 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1? 曲边梯形的面积 曲边梯形? 设函数y?f(x)在区间[a? b]上非负、连续? 由直线x?a、x?b、y?0及曲线y?f (x)所围成的图形称为曲边梯形? 其中曲线弧称为曲边? 求曲边梯形的面积的近似值? 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形? 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替? 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积? 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值? 具体方法是? 在区间[a? b]中任意插入若干个分点 a?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn ?b? 把[a? b]分成n个小区间 [x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 它们的长度依次为?x1? x1?x0 ? ??x2? x2?x1 ? ? ? ? ? ?xn ? xn ?xn?1 ? 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段? 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形? 在每个小区间 [xi?1? xi ]上任取一点??i ? 以[xi?1? xi ]为底、f (??i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i?1? 2? ? ? ? ? n) ? 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值? 即 A?f (??1)?x1? f (??2)?x2?? ? ?? f (??n )?xn? 求曲边梯形的面积的精确值? 显然? 分点越多、每个小曲边梯形越窄? 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值? 因此? 要求曲边梯形面积A的精确值? 只需无限地增加分点? 使每个小曲边梯形的宽度趋于零? 记 ??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 于是? 上述增加分点? 使每个小曲边梯形的宽度趋于零? 相当于令??0? 所以曲边梯形的面积为 ? 2? 变速直线运动的路程 设物体作直线运动? 已知速度v?v(t)是时间间隔[T 1? T 2]上t的连续函数? 且v(t)?0? 计算在这段时间内物体所经过的路程S ? 求近似路程? 我们把时间间隔[T 1? T 2]分成n 个小的时间间隔?ti ? 在每个小的时间间隔?ti内? 物体运动看成是均速的? 其速度近似为物体在时间间隔?ti内某点??i的速度v(??i)? 物体在时间间隔?ti内 运动的距离近似为?Si? v(??i)??ti ? 把物体在每一小的时间间隔?ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 ? T 2]内所经过的路程S 的近似值? 具体做法是? 在时间间隔[T 1 ? T 2]内任意插入若干个分点 T 1?t 0? t 1? t 2?? ? ?? t n?1? t n?T 2? 把[T 1 ? T 2]分成n个小段 [t 0? t 1]? [t 1? t 2]? ? ? ?? [t n?1? t n] ? 各小段时间的长依次为 ?t 1?t 1?t 0? ?t 2?t 2?t 1?? ? ?? ?t n ?t n ?t n?1? 相应地? 在各段时间内物体经过的路程依次为 ?S 1? ?S 2? ? ? ?? ?S n? 在时间间隔[t i?1? t i]上任取一个时刻? i (t i?1?? i? t i)? 以? i时刻的速度v(? i)来代替[t i?1? t i]上各个时刻的速度? 得到部分路程?S i的近似值? 即 ?S i? v(? i)??t i (i?1? 2? ? ? ? ? n)? 于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值? 即 ? 求精确值? 记? ? max{?t 1? ?t 2?? ? ?? ?t n}? 当??0时? 取上述和式的极限? 即得变速直线运动的路程