基于预处理技术和弧长法的非线性方程通用求解子程序总结报告一.PDFVIP

《高等数值分析》课程研究 基于预处理技术和弧长法的非线性方程通用求解子程序 总结报告 清华大学土木工程系 土博零 陆新征 指导教师：江见鲸 2000 年12 月7 日 一、 课题研究背景 在结构有限元分析中，经常需要求解非线性方程组 F (∆x) ∆f （1） σ 这里向量∆x 为有限元各个节点的位移，∆f 为节点外力。 如果材料的力学性能复杂，特别是当有些材料的力学性能与其 应力历史有关时，必须求解一系列的方程组F (∆x ) ∆f ， i i 并要求∆x 和∆f 都不能过大，以达到“跟踪”结构荷载—位 ε 移变化全过程的要求。由于实际计算中的无法预知计算结果，所以当计算接近极值点时，往 往因为对节点外力∆f 的设定不合适而导致求解失败或结果“跳跃”，即∆x 或∆f 过大，造 成精度的丧失乃至结果的错误。目前结构分析中解决这一问题的方法主要有以下三种形式： 1、不考虑下降段 当我们只关心峰值点时，当发现计算接近峰值点后，不断减小加载步长，这 样，可以得到一个较精确的峰值点，但无法得到下降段。 2 、迭代强制收敛方法。 如果主要想了解的是下降段而不是峰值点的值，则当计算非常靠近极值点时， 迭代如果不收敛或收敛很慢。这时就让它强制收敛，即当迭代次数大于预先设定的 最大迭代次数Ncr 时,则认为Ncr 次迭代的结果就是非线形方程组的解，进行下一轮 计算。这样可能会在峰值点附近精度不高，特别是当加载步长取得比较大的时候。 3、线形有哪些信誉好的足球投注网站法（本方法是从结构分析软件SAP-Structure Analysis Program 的说明中看 到的，具体方法我也不是很了解） 当计算接近峰值点时，对每次计算的结果进行一个小的折减，使程序自动适 应下降段。但如果曲线变化过于突然，或加载步长过大，则本方法失效。 《高等数值分析》课程研究 为了达到对结构荷载—位移变化的全过程自动跟踪，我设计了一个基于弧长法的非线性 方程通用求解子程序。由于当计算接近极值点时，刚度矩阵往往是病态的，为了提高在极值 点附近的精度，在迭代求解过程中，使用了预处理技术，以提高求解的稳定性和精确性。 二、基本原理及方法 2.1、利用弧长法实现对求解过程的自动控制。 2.1.1、基本原理 结构分析的一般方程为F (∆x ) ∆f ，为了达到自动控制的目的，我在该方程组中增 i i 加一个变量λ，变原方程组为 F (∆x ) λ∆f （2 ） i i 这时，方程组共有n+1 个未知量：∆x ∈R n ，λ，而方程只有n 个，因此，必须补充 条件。 现在令补充条件为 2 2 2 2 λ ∆f + ∆x S （3 ） 2 2 则S 即为附加的控制变量，我们称之为“弧长”。这时，方程组变为F ∈R (n+1)(× n+1) ， 通过引入λ