柯西--黎曼方程的应用 - 华北电力大学继续教育学院.docVIP

柯西--黎曼方程的应用 刘兵军 在复变函数中，柯西--黎曼方程具有很强的应用性。利用柯西--黎曼方程判断一个复变函数的解析性，是非常简单的。而利用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常麻烦。已知一解析函数的实部（或虚部），利用柯西--黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部（或实部）， 从而得到函数的表达式。 定理一 设函数定义在区域内，则在内一点可导的充要条件是和在点可微，并且在该点满足柯西--黎曼方程 ， 。 定理二 设函数定义在区域内，则在内解析的充要条件是：和在内可微，并且满足柯西--黎曼方程 ， 。 利用定理一可以判断函数在一点的可导性，而利用定理二可以判断函数在一个区域内的可导性，即解析性。 定义一 如果实二元函数在区域内满足，则称为在区域内的调和函数。 定理三 任何在区域内解析的函数，其实部和虚部均为内的调和函数，且满足柯西--黎曼方程，。 以下通过例题讲述柯西--黎曼方程的应用方法。 判断下列函数在何处可导，在何处解析： （1）； （2）； （3）。 解 （1） ，，，，， ，柯西--黎曼方程不满足，故在复平面内处处不可导且处处不解析。 （2），， ，，，， ， 。 柯西--黎曼方程成立，故在复平面内处处解析。 （3） ，，，，， ，柯西--黎曼方程不满足，故在复平面内处处不解析。 仅当时，，，柯西--黎曼方程成立，故函数仅在时可导，但在复平面内处处不解析。 设函数，问常数取何值时，在复平面内处处解析？ 解 ，， ，，，， 由 ， 得 ， 故当，，，时，函数在复平面内处处解析。 已知函数，求，使得解析。 解 由于解析，和满足柯西--黎曼方程。 ，由，两边对积分得 ，再由得，其中 为常数。故。 已知函数，求函数，使得解析。 解 由于解析，和满足柯西--黎曼方程。 ，， 由得 ， 再由得， 故，，。 以上例题展示了柯西--黎曼方程的各种应用方法，类似例题很多，但通过对这些例题解的学习，有助于我们掌握柯西--黎曼方程的各种应用方法，把握其解题规律。