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资料 . 对数与对数函数专题复习 【知识点梳理】 一、对数的概念 1、对数的定义： 如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2、几种常见对数： 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为（） 常用对数 底数为10 自然对数 底数为e 3、对数的性质与运算法则 （1）对数的性质（）： ①loga1=0， ②loga a=1， ③=N， ④． （2）对数的重要公式： ①换底公式：（均为大于0且不等于1，）； ②，推广：． （3）对数的运算法则： 如果，那么 ①·＋； ②－； ③； ④． 二、对数函数 1、对数函数的定义：一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 2、对数函数y=logax(a0且a≠1)的图象与性质： 图象 性质 定义域：（0,+）． 值域：R． 过定点：（1，0），即当x=1时，y=0． 当时，； 当时，． 当时，； 当时，． 在（0,+）上为增函数． 在（0,+）上为减函数． 3、反函数 （1）反函数：一般地，对于函数，设它的定义域为，值域为．如果对中任意一个值，在中总是唯一确定的值与它对应，且满足，这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作． （2）反函数的求法：①反解；②与对调；③求定义域． （3）反函数的性质： ①原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域； ②若函数的图象经过点，则其反函数的图象经过点； ③互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；(对称性) ④一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致．（单调性） （4）同底的指数函数和对数函数互为反函数． 【典型例题】 题型一、对数运算 例题1：计算下列各式的值： （1）； （2）． 【解析】（1）方法一：原式= = = =． 方法二：原式===． （2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2 =2lg10 + (lg5 + lg2)2 = 2 + (lg10)2 = 2 + 1 = 3． 【点评】这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．（计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1） 变式1： 计算：． 【解析】分子=， 分母= ； 所以，原式=． 题型二、对数函数的性质 例题2：求函数的定义域． 【解析】由，得． ∴所求函数定义域为{x| –1＜x＜0或0＜x＜2}． 【点评】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1． 例题3：判断函数f（x）=ln(－x)的奇偶性． 【解析】∵＞x恒成立，故（x）的定义域为（－∞，+∞）， 又∵f (－x)=ln(+x)=－ln=－ln=－ln(－x)=－f (x)， ∴f (x)为奇函数． 【点评】在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f（x）和f（－x）之间的关系． f（x）为奇函数f（－x）=－f（x）f（x）+f（－x）=0=－1〔f（x）≠0〕； f（x）为偶函数f（－x）=f（x）f（－x）－f（x）=0=1〔f（x）≠0〕． 在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断． 例题4：比较下列各组数的大小： （1）log0.7 1.3和log0.71.8； （2）log35和log64； （3）(lgn)1.7和(lgn)2 (n＞1) ． 【解析】（1）对数函数y = log0.7x在(0, +∞)内是减函数．因为1.3＜1.8，所以log0.71.3＞log0.71.8． （2）log35和log64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解． 因为log35＞log33 = 1 = log66＞log64，所以log35＞log64． （3）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论． 若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y = (lgn)x在R上是减函数，所以(lgn)1.7＞(lgn)2； 若lgn＞1，即n＞10时，y = (lgn)x在R上是增函数，所以(lgn)1.7＜(lgn)2． 若lgn = 1，即n = 10时，(lgn)1.7 = (lgn)2． 【点评】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较．在比较时，一定要