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函数与极限 一、x??时函数的极限 二、 x?x0时函数的极限 三、函数极限的性质 四、小结 例7 证 二者不相等, 函数极限的统一定义 (见下表) * * 上一页 下一页 返回 第四节 函数的极限 一、x??时函数的极限 二、x?x0时函数的极限 三、函数极限的性质 播放 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 定义 1 如果对于任意给定的正数 e ( 不论它多么小 ), 总存在着正数 X , 使得对于适合不等式 X x 的一切 x , 所对应的函数值 ) ( x f 都满足不等式 e - A x f ) ( , 那么常数 A 就叫函数 ) ( x f 当 ? ? x 时的极限 , 记作 ) ( ) ( ) ( lim ? ? ? = ?? x A x f A x f x 当 或 1、定义： 2、另两种情形: 3、几何解释: 例1 证 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 一、 x??时函数的极限 一、 x??时函数的极限 一、 x??时函数的极限 一、 x??时函数的极限 定义 2 如果对于任意给定的正数 e ( 不论它多 么小 ), 总存在正数 d , 使得对于适合不等式 d - 0 0 x x 的一切 x , 对应的函数值 ) ( x f 都 满足不等式 e - A x f ) ( , 那末常数 A 就叫函数 ) ( x f 当 0 x x 畗 时的极限 , 记作 ) ( ) ( ) ( lim 0 0 x x A x f A x f x x ? ? = ? 当 或 1、定义： 2、几何解释: 注意： 例2 证 例3 证 例4 证 函数在点x=1处没有定义. 例5 证 3.单侧极限: 例如, 左极限 右极限 左右极限存在但不相等, 例6 证 1.有界性 2.唯一性 推论 3.不等式性质 定理(保序性) 定理(保号性) 推论 4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系) 定义 定理 证 例如, 函数极限与数列极限的关系 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等. * *
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