4-2 矩阵的QR分解.pptVIP

* * * * Department of Mathematics Department of Mathematics * Department of Mathematics Company LOGO Department of Mathematics Department of Mathematics * * 矩 阵 论 电 子 教 程 哈尔滨工程大学理学院应用数学系 矩阵的分解 第 四 章 定理2: 设 ，那么 可唯一地分解为 其中： ， 为正线上三角阵 §4.2 矩阵的QR分解 定理1： 是次酉阵当且仅当 的列（行）为标 准正交向量组。 定义1: 设 ,若 则称 为次酉阵，全体列满秩（行满秩）的次 酉阵的集合记为： 称为A的UR分解 证明：先证明分解的存在性。将矩阵 按列分块 得到 由于 ，所以 是线性无关的。 利用Schmidt正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组再单位化，这样得到一组标准正交向量组 由前面学的定理有： 其中: 为正线上三角阵. 设 欧氏(酉)空间 的线性无关组,则 中存在标准正交向量组 ,使得 记: ,则 于是: ,下面证明分解是唯一的 假设: ,那么有: 注意到 仍是酉矩阵，而 是一个正线上三角矩阵，因此有: 于是: ,从而 推论1: 设 ，那么 可唯一地分解为 其中： ， 为正线下三角阵 证明:因为 ,则 所以, 推论2: 设 ，那么 可唯一地分解为 其中： ， 为正线上三角阵 例 1 求下列矩阵的正交三角分解 解答:容易判断出 即 是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程， 将 的三个列向量正交化与单位化先得到一个正交向量组: 再将其单位化，得到一组标准正交向量组 这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系可表示成 将上面的式子矩阵化，即为 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *