数学人教版九年级上册利用辅助圆解决直线型问题.docx

课题: 利用辅助圆解决直线型问题 -----初三几何复习 授课教师： 海淀北部新区实验学校 刘晓燕 授课时间： 2017年4月24日 教学目标: 通过品一道常规旧题,学会挖掘图形间的内在联系,识清题目的本质。 经历多角度、多方法的分析题目，能借助题目中共端点的等线段及直角条件构造辅助圆，达到优化解决直线型问题的方法。 学会对题目的解题过程进行及时的总结、归类、拓宽、演变。“品尝”解法的独特性、技巧性和关键点。 教学重点：能理清万变不离其宗的问题本质，品数学思维，玩味解题方法，并会将解题思想自主地运用于解决新问题的过程中。 教学难点: 学会分析、归纳、变式，学会类比，从而自动生成新的问题，逐步形成问题意识，同时提高解决问题的能力。 教学过程： 一：品旧引入,延承思路 问题：如图:在三角形△ABC中，AB=AC, BD⊥AC于D , 探究∠1与∠BAC的数量关系。 分析： 题目条件中AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，等腰三角形中的底角和顶角可以互相转化，可用其中一个量表示另一个量。而另一个条件BD⊥AC得出了△ABD和△BDC是直角三角形，于是在直角△BDC中，∠1和∠C建立了互余关系，从而∠1和∠C可以互相表示。而∠C是联系∠1和∠BAC两角的纽带，借助∠C可以探究出∠BAC是∠1的二倍关系。当然学生还可能借助等腰三角形的“三线合一”性质，或者利用等腰三角形的轴对称性翻折三角形，构造与∠1相等的角等等。 预设学生的解法 方法一：∠1+∠C=又2∠C+∠BAC=，易导出∠BAC=2∠1 方法二：取BC的中点E，连接AE,利用等腰三角形三线合一的性质可得出AE⊥BC,再通过等角的余角相等导出∠BAC=2∠1。 方法三：把△BDC沿着BD或者CD边翻折，构造新的等腰三角形，从而推出∠BAC=2∠1 。 设计意图：利用初二时探究过的旧题，通过学生品条件，品图形结构，后独立思考，最后展示解法，帮助学生梳理解决等腰三角形的相关问题的常规思路，抓住图形间元素的内在联系，认清图形关系的本质，最终触类旁通内化为解决这一类问题的思想方法。 二：品新探究，挖掘内涵 继续探究这个问题，引导学生发现等腰三角形、直角与圆的紧密关系。从圆的定义可知，连接圆的任意两条半径都会构建一个等腰三角形；还有直径所对的圆周角是直角。逆向思维要解决具有等腰三角形或直角的几何图形的问题，我们能否构造一个辅助圆帮助问题的解决呢？ 方法4： 以A为圆心，AB为半径画圆，利用圆中同弧所对的圆心角和圆周角的关系，很容易解决了 ∠BAC=2∠1的关系。 方法5： 以AB中点O为圆心OA为半径画圆，圆O交BC于点P。易证点P是BC的中点,根据圆心角 和圆周角的关系导出∠BAC=2∠1的关系。 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 等腰三角形（共端点的等线段）小结： 等腰三角形（共端点的等线段） 1． 构造辅助圆，利用圆中角与 构造辅助圆，利用圆中角与角丰富的关系 直角三角形的外接圆圆心是斜边中点 直角三角形的外接圆圆心是斜边中点 圆的性质及定理。 圆的性质及定理。 直角三角形 直径所对的圆周角是直角2. 直径所对的圆周角是直角 三：品比新旧，巩固提高（老题新解法） 1、四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，已知：∠BDC=40o，求∠BAC的大小。 1题图 2题图 分析：读完条件∠BDC=40o，题中有一个角的度数已知，此时学生寻找的解决思路多半是借助等腰倒角建立关系，去解决问题。但是在倒角中发现直接建立起∠BAC与∠BDC的数量关系比较困难。转变思路从另一个角度认识条件，三条共端点的等线段AB＝AC＝AD，说明点B、C、D在以A点为圆心，AB为半径的圆上。辅助圆的建立，很容易找到了所求的角与已知角的数量关系。 2、如图：PA=PB=PC,AC与PB交于点D,且PB=4，PD=3,求AD×DC的值。 分析:从图上观察，AP与BC平行，可得△ADP与△BDC相似，通过相似得到对应边的比例关系，从而易求AD×DC的值。但是这两个三角形相似的判定条件缺一个，从题中的条件间接的也得不出△ADP与△BDC相似的另一个条件，所以这条解决思路行不通，只能另辟蹊径