弯管制作中的数学建模和函数拟合-Audentia.PDF

弯管制作中的数学建模和函数拟合 ——TI-83 Plus 计算器的回归分析功能 大同中学 平容旎 观察一下身边的烟道、铁门、广告牌等，是否用到各种弯管？制作这类弯管时，通 常先在平面材料上剪裁出展开图，再合拢、拼接出弯管。 我们将要动手制作如图（1）所示的圆柱弯管。 准备好一张 16K 的纸，一个薯片罐，TI-83 计算器。 （1） 【探究一】 斜截薯片罐一分为二，要确保斜截面是平面。可以将斜截面置于桌面来检验，若截 口与桌面没有空隙则为平面。 把其中一个斜截圆柱的侧面剪开并摊平，如图（2 ）所示。 要画出这个斜截圆柱的侧面展开图，关键在于截口轮廓线， 也就是图（2 ）中的曲线A BCDA 。 1 1 猜测曲线 A BCDA 是什么曲线？抛物线？圆弧？正弦函数？ （2） 1 1 或者是其它类型的曲线？ 以下是小张同学利用 TI83 计算器做的一个函数拟合 步骤一：将圆柱底面的圆周十六等分； 步骤二：从每个等分点画一条与底面垂直的直线，在截口轮廓线上找到 与每个等分点对应的点； 步骤三，依次测量每个等分点与其对应点之间的距离，得到以下一组数据： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 h 10 10.4 11.7 13.5 15.7 17.8 19.6 20.9 21.3 20.9 19.7 17.8 15.7 13.5 11.7 10.5 步骤四：创建 n 、h 两个数组，并以 n 为 Xlist ，以 h 为 Ylist 作出离散图； 步骤五：用正弦函数模型拟合这两个数组 你也可以参照以上步骤，做其它函数模型（如二次函数）的拟合。 比较不同拟合的图像和误差，来检验你的猜测。 【探究二】 拟合实验表明，斜截圆柱的截口轮廓线符合函数 y A sin(ωx +ϕ) +B 。 （该函数的推导过程参见附一，其中用到高二的立体几何知识） 那么参数 A 、B 、ω、ϕ与弯管的形状和大小有什么关系？ 例：图（3 ）是一个斜截圆柱的侧视图，根据所给出的条件，则拼 45° 接制作这样一个斜截圆柱需要多少面积的材料？ 13cm 解：侧面展开后，截口轮廓线是一个周期的正弦函数曲线 5cm 根据正弦函数的对称性，展开图割补成矩形 （3） 5 +13 长为底面周长 8π，高为 9 2 ∴需要 72π cm2 的材料 例：如图（4 ）所示，裁剪一张a ×b 大小的矩形纸张，拼接出一个圆柱直角弯管， 试求截口轮廓线的正弦函数解析式。 b （分析） 参数 B 、ϕ对曲线的形状没有影响，仅与曲线横向、纵向的