05年研究生高等代数考试试卷.doc

第 PAGE 4 页 共 NUMPAGES 4 页 北 京 交 通 大 学 2005年研究生入学《高等代数》试题 一．填空题 1、设p是素数，则多项式和的最大公因式是 ； 2、已知3次方程则以该方程的根的倒数为根的3次方程为 , 3、设n阶行列式D的值为c,若将D的每个元素换成则所得行列式的值为 ； 4、设A为3阶，行列式则行列式 ； 5、设B，C为n阶方阵，B*,C*分别为它们的伴随矩阵，则分块阵的伴随矩阵A*= ； 6、若线性方程组 有解，则常数应满足的条件是 ； 7、设线性空间中的线性变换A定义为A(x,y,z)=(x+y+z,0,0),则A在基 (1,0,0)，(1,1,0),(1,1,1)下的矩阵是 ； 8、设是3阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别是则常数a= ； 9、设实二次型是正定二次型，则参数k应满足的条件是 ； 10、设3维欧氏空间V的一组基的度量矩阵为 则向量的长度为 ； 二、计算n+1阶行列式 三、设n阶方阵 求A中所有元素的代数余子式之和。 四、 已知线性方程组 的一个基础解系为 求方程组 的通解。 五、 设2阶矩阵证明 （1）若|A|0,则A相似于对角阵； （2）若b,c同号，,则A相似于对角阵；有解，当且仅当（2）无解。 （3）若|A|0,且AB=BA,则B相似于对角阵。 六、设A为n阶方阵,g(x)是A的最小多项式，f(x)是次数大于0的多项式，证明方阵f(A)可逆的充分必要条件是f(x)与g(x)互素。 七、设A,B为正定矩阵，证明： （1）方程的根全大于0； （2）方程的所有根都等于1当且仅当A=B。 相似于对角阵，并说明理由。, 。 八、设V是数域P上的线性空间，是V的一组基，又设 ， 令 （1）求 并求的维数与一组基； （2）求 并求的维数与一组基。 九、设是n维欧氏空间V的非零向量，定义变换如下： A （1）证明A是线性变换； (2) 设在V的一组标准正交基下的坐标为，求A在这组基下的矩阵； （3）证明A是对称变换； （4）证明A是正交变换的充要条件是