西安电然子科技大学讲义-随机过程.docVIP

PAGE 6 随机信号分析与应用 PAGE 5 第一章 随机过程 第一章 随机过程 本章主要内容： 随机过程的基本概念 随机过程的数字特征 随机过程的微分和积分计算 随机过程的平稳性和遍历性 随机过程的相关函数及其性质 复随机过程 正态分布的随机过程 第一章我们介绍了随机变量，随机变量是一个与时间无关的量，随机变量的某个结果，是一个确定的数值。例如，骰子的6面，点数总是1～6，假设A面点数为1，那么无论你何时投掷成A面，它的点数都是1，不会出现其它的结果，即结果具有同一性。但生活中，许多参量是随时间变化的，如测量接收机的电压，它是一个随时间变化的曲线；又如频率源的输出频率，它随温度变化，所以有个频率稳定度的范围的概念（即偏离标称频率的最大范围）。这些随时间变化的随机变量就称为随机过程。 显然，随机过程是由随机变量构成，又与时间相关。 1.1 随机过程的基本概念及统计特性 1.1.1 随机过程的定义 现在我们进一步论述随机过程的概念。当对接收机的噪声电压作“单次”观察时，可以得到波形，也可能得到波形，等等，每次观测的波形的具体形状，虽然事先不知道，但肯定为所有可能的波形中的一个。而这些所有可能的波形集合，，，…，，…..，就构成了随机过程。 图1.1 噪声电压的起伏波形 样本函数：，，，…，，都是时间的函数，称为样本函数。 随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。因此，随机过程不仅是时间t 的函数，还是可能结果的函数，记为，简写成。 随机过程的定义： 定义1把随机过程看成一族样本函数。 定义的理解 上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。具体的说，作观测时，常用定义1，这样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样可以把随机过程看成为n 维随机变量，n越大，采样时间越小，所得到的统计特性越准确。 因此，可从以下4个方面对定义进行理解。 1.1.2 随机过程的分类 随机过程的分类方法有多种，可以按是否连续来分类，也可以按样本函数的形式来分类，还可以按概率分布的特性来分类。 按随机过程的时间和状态来分类 连续型随机过程：对随机过程任一时刻t1的取值都是连续型随机变量。 离散型随机过程：对随机过程任一时刻t1的取值都是离散型随机变量。 连续随机序列：随机过程的时间t只能取某些时刻，如，2，…..，n，且这时得到的随机变量是连续型随机变量，即时间是离散的。相当于对连续型随机过程的采样。 离散随机序列：随机过程的时间t只能取某些时刻，如，2，…..，n，且这时得到的随机变量是离散型随机变量，即时间和状态都离散。相当于采样后再量化。 按样本函数的形式来分类 不确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压波形。 确定的随机过程。随机过程的任意样本函数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信号。 按概率分布的特性来分类 这是一种更为本质的分类方法，可分为：平稳随机过程，正态随机过程，马尔可夫过程，独立增量过程，独立随机过程和瑞利随机过程等等。 1.1.3 随机过程的概率分布 前面说过，用定义2分析随机过程方便，也就是说，把随机过程看成n维随机变量的集合（n趋向无穷，且相当小）。这样，就把多维随机变量的研究代替随机过程的研究，这样的代替足够精细。 1、一维概率分布 定义： 由于t1是任一时刻，因此，常把简写成。 如果的偏倒数存在，则： 为随机过程的一维概率密度函数。 注意：在此定义中，首先固定了时间t，这样就得到了t时刻的随机变量（t可以是任意时刻），这种分析方法后面经常用到。显然，随机过程的一维概率密度是时间t的函数，其性质与一维随机变量的性质一样。 2、二维概率分布 随机过程的二维概率分布反映了随机过程X(t)任意两个时刻状态之间的联系。通过求边沿分布可以分别求出两个一维边沿分布和。 n维概率分布 同理，它具有多维随机变量的性质。 1.1.4 随机过程的数字特征 随机变量的数字特征通常是确定值；随机过程的数字特征通常是确定性函数，因此，对随机过程的数字特征可以采用“信号与系统”中学习的各种对确定性信号的处理方法。 对随机过程的数字特征的计算方法，是先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算（这时随机过程可以理解为：为随机变量（t为任意时刻） 1、数学期望 图1.2 随机过程的数学期望 物理意义：如果随机过程表示接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。 均方值和方差 定义：随机过程在任一时刻t的取值是一个随机变量。我们把二阶原点矩称为随机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过程的方差。即： 注意：和都是确定性函数，描