高中数学函数单调性教案.docVIP

PAGE 课题：§1.3.1函数的单调性 肥东县城关中学马亚东 教学目的： （1）通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （2）理解函数的单调性的定义及单调函数的图象特征； （3）能够熟练应用定义判断函数在某一区间上的的单调性； （4）通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力，用运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质；同时让学生体验数学的艺术美，养成用辨证唯物主义的观点看待问题. 教学重点：函数单调性的定义及单调函数的图象特征． 教学难点：利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性． 教法与学法：启发式教学，充分发挥学生的主体作用． 教学用具：黑板、计算机多媒体 教学过程： 一．情景引入： 德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据： 时间间隔 天数记忆 天数 记忆保持量 （百分数） 40 1 2 3 4 5 6 20 60 80 100 0 刚刚记忆完毕 100% 20分钟之后 58.2% 1小时之后 44.2% 8-9小时之后 35.8% 1天后 33.7% 2天后 27.8% 6天后 25.4% 一个月后 21.1% … … 将表中数据绘制在坐标系中连出草图，这就是著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线. 观察这条曲线，你能得出什么规律呢？（学生回答） 这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持量逐渐减小. 第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢. 这一规律就提醒我们：在学习新知识的时候，一定要及时进行复习和巩固，以便加深理解和记忆. 象这样，在生活中，我们关心很多数据的变化，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的. 观察数据的方法往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的. 这就是我们今天要研究的函数的单调性. 二．学习新课： 观察以下几幅图,你能发现图象在升降上有什么特点吗? （学生回答） x x y 2 4 -2 1 1 -1 0 x x y o o （1）函数的图象从左到右上升,即当增大时随着增大,所以称函数在上是增函数. （2）函数在对称轴轴的左侧下降、右侧上升，即在区间(-∞,0]上当增大时 随着减小，在区间（0,+∞)上当增大时随着增大. 所以称函数在(-∞,0] 上是减函数，在（0,+∞)上是增函数. 那么如何用数学语言来描述增函数与减函数呢？ 考察函数在（0,+∞)上任取,则，，对任意 ，都有 ，所以在区间（0,+∞)上，对任意,都有，即在（0,+∞)上, 当增大时, 函数值相应地随着增大.这与观察图象所得结果是一致的. 所以在区间（0,+∞)上是增函数. 由此归纳出增函数的定义，类似地得出减函数的定义（学生讨论、回答）. 定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数f(x)在区间上是减函数. 分析定义可得： （1）增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降. （2）的三大特征：①属于同一区间；②任意性； ③有大小：通常规定 根据图像判断：函数在(-∞,0)和(0，+∞)上都是减函数. 问：能否说函数在区间(-∞,0)∪(0，+∞)上也是减函数？ 答：不能. 因为不是对任意的 ，当时，都有. 反例如：－11，－1＝f(-1) f(1)＝1. 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数)在区间上具有(严格的)单调性，区间叫做函数f(x)的单调区间. 三．概念应用： 例1．如图是定义在闭区间[-5，5] 上的函数y=f(x)的图象， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上， 函数是增函数还是减函数？（学生活动） 3 3 2 -4 2 1 5 4 3 1 -1 -2 -1 -5 -3 -2 o x 解：函数的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]. 其中在区间[-5, -2）,[1，3)上是减函数； 在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数. 注意：（1）在书写时区间与区间之间用逗号隔开，不能用集合中的“∪”连接. （2）因为孤立的点没有单调性，所以区间端点处若有定义写开写闭均可. 例2．证明函数在是单调减函数.（学生分组讨论、分别演板展示） 设值证明：设是上任意两个值，且， 设值 则 作差变形 作差变形 定号 定号 下结论∴即 下结论 ∴函数在上是单调减函数. 总结证明函数单调性的步骤： 1.设值:设任意属于给定区间，且； 2.作差变形:差变形的常用方法有:因式分解、配方、有理化等； 3.定号:确定的正负； 4.下结论