线性代数课件4-3所向量的内积和schmidt正交化.ppt

第三节 向量的内积和Schmidt正交化 一、内积的定义和性质 二、向量的长度和性质 三、正交向量组的概念和求法 四、正交矩阵和正交变换 五、小结 思考题 一、内积的定义及性质 二、向量的长度及性质 三、正交向量组的概念及求法 四、正交矩阵与正交变换 五、小结 思考题 思考题解答 * * 定义1 内积 说明 　　　1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． 内积的运算性质 定义2 令 长度 范数 向量的长度具有下述性质： 解 单位向量 夹角 １ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 正交 　　若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 证明 ３ 正交向量组的性质 性质2 : 正交向量组单位化后仍是正交向量组 叫做标准正交向量组，或正交单位向量组。 是标准正交向量组， 则 例如 就是一个标准正交向量组。 （1）正交化，取 ， 4、Schmidt正交单位化方法 设 是线性无关向量组，构造新 的向量组 ，使两个向量组等价 且 是正交向量组。 （2）单位化，取 标准正交向量组。 例２ 用施密特正交化方法，将向量组 正交规范化. 解 先正交化， 取 施密特正交化过程 再单位化， 得规范正交向量组如下 例３ 解 再把它们单位化，取 例４ 解 把基础解系正交化，即合所求．亦即取 证明 定义4 定理 　　 为正交矩阵的充要条件是 的行向量组 是标准正交向量组． 例５ 判别下列矩阵是否为正交阵． 定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正 交变换． 解 所以它不是正交矩阵． 考察矩阵的第一列和第二列， 由于 所以它是正交矩阵． 由于 例６ 解 1．将一组线性无关向量规范正交化的方法： 　 先用施密特正交化方法将向量组正交化，然后再将其单位化． 2． 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：