复合函数知识总结例题.doc

... 资料 复合函数问题 一、复合函数定义：　设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量. 二、复合函数定义域问题： (1)、已知的定义域，求的定义域 思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。 例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。 解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1） 又f对lnx作用，作用范围不变，所以 解得，故函数的定义域为（1，e） 例2. 若函数，则函数的定义域为______________。 解析：先求f的作用范围，由，知 即f的作用范围为，又f对f(x)作用所以，即中x应满足即，解得 故函数的定义域为 （2）、已知的定义域，求的定义域 思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。 例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。 解析：的定义域为，即，由此得 所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以 即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为------- 解析：先求f的作用范围，由，知 解得，f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以，即的定义域为 （3）、已知的定义域，求的定义域 思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。 例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。 解析：的定义域为，即，由此得 的作用范围为，又f对作用，所以，解得 即的定义域为 评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。 三、复合函数单调性问题 （1）引理证明 已知函数.若在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间 ）上是增函数. 证明：在区间）内任取两个数，使 因为在区间）上是减函数，所以,记, 即 因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即， 故函数在区间）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断 复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表： 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数的单调性判断步骤： ⅰ?? 确定函数的定义域； ⅱ?? 将复合函数分解成两个简单函数：与。 ⅲ?? 分别确定分解成的两个函数的单调性； ⅳ?? 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数；? 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。 （4）例题演练 例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明 解：定义域 单调减区间是 设 则 = ∵ ∴ ∴ 又底数 ∴ 即 ∴在上是减函数 同理可证：在上是增函数 ［例］2、讨论函数的单调性. ［解］由得函数的定义域为 则当时，若，∵为增函数，∴为增函数. 若，∵为减函数. ∴为减函数。 当时，若，则为减函数，若，则为增函数. 例3、.已知y=(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围. 解：∵a＞0且a≠1 当a＞1时，函数t=2-0是减函数 由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是增函数， ∴a＞1 由x［0，1］时，2-2-a＞0,得a＜2, ∴1＜a＜2 当0a1时，函数t=2-0是增函数 由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是减函数， ∴0a1 由x［0，1］时，2-2-1＞0, ∴0a1 综上述，0a1或1＜a＜2 例4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设.问是否存在实数使得在区间上是减函 数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。 ［解析］由已知，得， 其中 ∴即， 解得 ∵为负整数，∴ ∴， 即 ， ∴ 假设存在实数，使得满足条件，设， ∴ ∵，当时，为减函数， ∴，∴ ∵,∴, ∴, ∴ ① 当时, 增函数,∴ ∵,∴, ∴. ② 由①、②可知，故存在 一．指数函数与对数函数 ．同底的指数函数与对数函数互为反函数； （二）主要方法： 1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1，要注意对底数的