高中数学竞赛教程第04讲集合的概念运算.doc

... PAGE 资料 第4讲 集合的概念与运算 本讲内容包括集合及其性质（集合的元素满足确定性、互异性、无序性）；元素与集合、集合与集合的关系（属于、包含、子集、空集、全集）；集合的运算（交、并、补）及容斥原理等。 “交、并、补”是集合的三种运算。它们的含义可以用“且、或、非”来理解。这对于运用集合语言描述数学现象，或解读运用集合语言描述的问题都有帮助。集合及其运算还有如下一些常用的性质和公式： 若，则； 若，则； ； ； [I[I[I; [I[I[I. 容斥原理 在需要对某一个有限集合的元素进行记数时，为了便于计算，常常通过计算它的若干个子集的元素个数来实现。实质是将整体计数问题转化为局部计数问题。 我们将此类计数公式通称为容斥原理。“容”意指这些子集的并集是原集合，“斥”意指这些子集中两两交集不是空集时，需要将重复的元素个数排斥掉。 通常以表示有限集合中元素的个数，参照Venn图可以得到如下计数公式: A类例题 例1 已知数集， 。 若，求实数的值。 分析 两个集合相等是指这两个集合的元素完全相同。由集合中元素的互异性及无序性，集合中三个元素有且仅有一个为1。椐此可求出，进而求出。 解 由，得。 由集合中三个元素有且仅有一个为1，得，。 由，得。 因此，所求实数为或。 例2 集合 的关系是 （ ） （1989年全国高中联赛） 分析1 通过化简，认识这两个集合中元素的特征，进而作出判断。 解1 ，而可取任意整数，得集合表示4的倍数的集合，即。 ，设，得。 所以，，应选。 分析2 本题供选择的结论中，均为两集合之间的包含关系。证明集合之间包含关系的一般方法是“若，则”；证明集合相等关系的一般方法是“若 则”。 解2 若。设，则。 若。设，则。 由。所以应选。 例3 已知，。 若，求实数的值； 若，求实数的取值范围。 分析 首先应对题中的集合语言进行解读。，意为由集合分别表示的两个方程组成的方程组的解集。（1）是求实数的值，使上述方程组有3解；（2）是求实数的取值范围，使上述方程组无解。 解 由 （*） 。 当时，，原方程组无解； 当时，，原方程组有两解； 当时，，方程（*）有两个不等的实根。 由，得方程（*）两根中，一根为正数另一根为0时，原方程组有3解；方程（*）两根均为负根时，原方程组无解。 由，经验算，时，原方程组有3解； 由，即时，原方程组无解。 所以，若，实数 ； 若，实数的取值范围是或。 情景再现 1．已知数集，求实数的值。 （1999年第十届“希望杯”高一） 2．若是单元素集合，则实数的值为 （ ） 不存在这样的实数 （1990年江苏省数学竞赛） 3．数集与数集之间的关系是 （ ） （1984年全国高考题） B类例题 例4 设集合满足：， 。 若为已知集合，求集合。 分析 在研究集合之间的运算时，应理解集合运算的意义并注意应用运算的性质。 解1 由 设 或 因为 ，得 ，即。 由 ，得。 又 所以，。 解2 由 ， 所以， 。 例5 已知集合， ， 若，求实数的取值范围。 分析 由题意，两个一元二次方程和中，至少有一个方程有实数解。采用直接方法是求两个方程有解集合的并集；或采用间接方法是求两个方程无解集合的交集的补集。 解1 由二次方程，得 ； 由二次方程 ，得 ； 由，得所求实数的取值范围是 解2 由解1，得 。 由，得所求实数的取值范围是 [R 例6 不大于1000的自然数中，既不是3的倍数，也不是5的倍数共有多少个？ 分析 若不大于1000的自然数集合为全集，其中3的倍数的集合为，5的倍数的集合为。则要求的是|[I|。 解 设不大于1000的自然数集合为全集，其中3的倍数的集合为，5的倍数的集合为，则 。 因此