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平行四边形 基础知识平行四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 等腰梯形 定 义 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。 两腰相等的梯形是等腰梯形。 性 质 1、对边平行且相等。 2、对角相等，邻角互补。 3、对角线互相平分 1、四个角都是直角。 2、对角线相等。 1、四条边都相等。 2、两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 具有平行四边形、矩形、菱形的所有特征。 1、两腰相等两底平行 2、同一底上的两角相等 3、两条对角线相等 判 定 1、定义： 2、判定定理： （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 1、定义： 2、判定定理： （1）对角线相等的平行四边形是矩形。 （2）有三个角是直角的四边形是矩形。 1、定义： 2、判定定理： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。 （2）对角线互相垂直的四边形是菱形。 1、先证明是矩形再证明一组邻边相等。 2、先证明是菱形再证一个角是直角。 1、定义：先判断是梯形在证明两腰相等。 2、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 3、对角线相等的梯形是等腰梯形。 对称性 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 轴对称图形 二、1、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。 （图1）CAB （图1） C A B D E F 三、例题 例1、如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F. 求证：∠BAE =∠DCF. O O A B C D E F （图2） 例2、如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F. 求证：BE = CF. A A B C D 图3 E F 例3、已知：如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求证：∠BEC =∠CFB. ADBC A D B C E F (图6) M N （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若 M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论. 图7ABCDEFO 例5 图7 A B C D E F O 图8BCDAEF例6 图8 B C D A E F （1）如果 ，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）； （2）证明你的结论. 例7、如图9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C. （1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB； AB A B C D 图9 E G O F 备用图（1） 备用图（1） 备用图（2） 图13 例8、有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释. 四、练习 一、选择题 1.下列命题正确的是（ ） (A)、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 (B)、对角线相等的四边形一定是矩形 (C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 (D)、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 2. 已知平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,则AC的取值范围为( ) A. 6AC10； B. 6AC16； C. 10AC16； D. 4AC16 3.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（　　） 　（A）1　　　　　　（B）2　　　　　（C）3　　　　　　（D）4 4．延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，若∠DAB＝120°,∠CFE＝135°，AB＝1，则AC 的长为（ ）（A）1　　　　　　（B）1.2　　　　　（C） EQ \F( EQ \R(,3) ,2) 　　　　　　（D）1.5 5．若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BD的长是（ ） （A）1cm　　　　　　（B）2cm　　　　　（C）3cm　　　　　（D）4cm 6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线(　　　) （A）互相垂直　　（B）相等　 （C）互相平分　（D