《D7-微分方程-二阶线性方程10-11-2辅》-课件设计（公开）.pptVIP

(1) 线性微分方程解的结构定理 (3) 二阶常系数非齐次方程 例1 (96.3分) 例2 (10.10分) 例3 (09.4分) 例4 (97.7分) * 第二章 微分方程(二) 高阶线性微分方程 知识要点 典型例题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 01 定理1 设 (即 是齐次微分方程 的两个线性无关的特解 常数), 则 是此方程的通解. 为任意常数) 定理2 设 是非齐次微分方程 一个特解, 是对应的齐次方程的通 是非齐次方程的通解. 的 解,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 02 知识要点 设 定理3 的两个特解, 分别是非齐次方程 则 的特解. 的两个不同的特解, 则 是非齐次方程对应的齐次方程的解. 定理4 设 是非齐次方程 是方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 03 (2) 二阶常系数齐次方程的解法: 的特征方程为 ①当 方程的通解为: 时, 特征方程有两个相异实根 (特征方程法) ②当 时, 特征方程有两个相同实根 方程的通解为: ③当 时, 特征方程有一对共轭复根 方程的通解为: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 04 的通解Y. ②再求非齐次方程 ①先求对应的齐次方程 的求法 — 待定系数法. 的一个特解 ③ 即为非齐次方程 的通解. 特解 自由项为 时, 可设: k 按? 不是特征根 是特征单根 是特征重根 而取 0 1 2 是系数待定的n次多项式: 的解法 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 05 设线性无关的函数 都是二阶非齐 次线性方程 解 的解, 为任 意常数, 例1 (89.3分) 则该非齐次方程的通解是( ) . 根据线性方程解的结构知: 若 是非齐次线性 方程的解, 则 是对应的齐次线性方程的解, 又 线性无关, 所以该非齐次方程的通解为 即为: 故选项(D)正确. D (8 - 3) 题型1 高阶线性微分方程解的结构 机动 目录 上页 下页 返回 结束 16 微分方程 的通解 为_____________________. 特征根为: 解 故可设 由于? = 1 不是特征方程的根, 特征方程为 将 对应的齐次方程的解为: 代入原方程得: 则a = 1 . 方程的特解为: 原方程的通解为: 应填: 注释 本题考查二阶线性常系数非齐次方程的解法. 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7 题型2 二阶常系数线性微分方程 解 求微分方程 的通解. 特征根 特征方程为: 对应的齐次方程的解为: 由于? = 1 是特征方程的单根, 故可设 将 代入原方程解得: 注释 特解为 本题考查二阶线性常系数非齐次方程的解法. 所给方程的通解为: (8 - 37) 为: 及 机动 目录 上页 下页 返回 结束 8 若二阶常系数齐次微分方程 满足条件 则非齐次方程 解 的通解为 的解为____________. 由于 是方程 的通解, 注释 本题考查二阶线性常系数非齐次方程的解法. 该方程的两个特征根为 故 设非齐次方程 的特解为 代入方程得 其通解为 由 可得 所以 (8 - 36) 将其 机动 目录 上页 下页 返回 结束 9 求 f (u) . 设函数 f (u) 具有二阶连续导数, 而 满足方程 分析 是一个偏微分方程, 本题给出的 若令 解 令 可得关于f (u)的常微分方程, 从而可求得 f (u) . 则z = f (u) , 求出二阶偏导后代入原方程 则有z = f (u) , 代入原方程得: 且 特征方程为: 特征根为: 所以 (8 - 17) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 10