《D4-1对弧长的曲线积分》-课件设计（公开）.pptVIP

第四章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 高等数学（工本） 第四章 曲线积分 曲线弧 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 曲线积分与曲面积分 定积分二重积分三重积分 区 间 平面域 空间域 积分学 积分域 第一节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 对弧长的曲线积分 第十一章 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得 为计算此构件的质量, 引例 采用 曲线形构件的质量 设 ? 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 ? 上的一个有界函数, 记作 若通过对 ? 的 局部的 1 定义 下列“乘积和式极限” 和对 曲线形构件的质量 都存在, ? 上对弧长的曲线积分, 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数， ? 称为积分弧段 . 任意分割 任意取点, 如果 L 是闭曲线 , 则记为 思考 (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds ? 0 , 但定积分中 dx 可能为负. 如果 L 是 xOy 面上的曲线弧, 则定义对弧长的曲线积 分为 则图示曲边梯形的面积元素 几何意义 得到曲边梯形的面积为 柱面上曲边梯形的面积 如图曲边梯形是以 为顶边，以L为底边的柱面 假设函数 在光滑弧段L上连续， 上的曲边梯形． 2 性质 （?, ? 为常数) ( ? 由 组成) ( l 为曲线弧 ? 的长度) 例1 其中 L 是圆周 解法一 解法二 利用几何性质 被积函数在圆周上取值 计算 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路 计算定积分 转 化 定理 且 上的连续函数, 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 说明 因此积分限必须满足 可运用奇偶对称性简化运算． 例如 (3) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 如果曲线 L 的方程为 则有 如果方程为极坐标形式: 则 例2 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解 上点 O (0,0) 计算 推广 则 设空间曲线弧的参数方程为 第四章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 高等数学（工本） * * * *