极坐标与球面坐标计算三重积分.pptVIP

一、利用柱面坐标计算三重积分 一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 * 一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 §9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、 柱面坐标系中的体积元素 柱面坐标系中的三重积分 球面坐标、 球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、 球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分 设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0? r??， 0? q ?2? ， ?? z??． x y z O r z P(r, q ) M(x, y, z) x y q 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． r?r0 坐标面r?r0，q ?q 0，z?z0的意义： x y z O q ?q 0 z?z0 r0 q 0 z0 设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0? r??， 0? q ?2? ， ?? z??． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． 直角坐标与柱面坐标的关系： 柱面坐标系中的体积元素： dv ?rdrdqdz． 柱面坐标系中的三重积分： x y z O r z P(r, q ) M(x, y, z) x y q x2?y2?4 2 解 闭区域W可表示为： r 2?z?4，0?r?2，0?q?2?． 于是 z?x2?y2 或 z?r2 4 x y z O 例1 这样的三个数r、j 、q 叫做点M 的球面坐标． 设M(x，y，z)为空间内一点，则点M与数r 、j 、q 相对应， 其中r 为原点O 与点M 间的距离， j为有向线段 与z 轴正向所夹 的角， q 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针 方向转到有向线段 的角． 这里r 、j 、q 的变化范围为 0? r??，0? j ?，0?q ? 2?． x y z O z P M(x, y, z) x y q r j 坐标面r?r0，j?j 0，q ?q 0的意义： x y z O r q j 点的直角坐标与球面坐标的关系： 球面坐标系中的体积元素： dv?r2 sin j drdjdq ． 柱面坐标系中的三重积分： x y z O z P M(x, y, z) x y q r j 例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立 体的体积． x y z O a 2a *