方波的傅立叶级数合成与分解 信号与系统..docxVIP

电子科技大学 光电信息学院 姜哲 方波的合成与分解 【设计要求】 (1) 熟悉连续周期信号的傅立叶级数定义。 (2) 连续周期方波信号的建模。 (3) 利用MATLAB工具对方波分解出来的信号进行合成。 【设计工具】MATLAB 【设计原理】 傅立叶级数分析的原理： 任何周期信号都可以用一组三角函数｛sin(nω0t)，cos(nω0t)｝的组合表示： 这表明傅立叶级数可以表示为连续时间的周期信号，也即是连续时间周期信号可以分解为无数多个复指数谐波分量。在这里为傅立叶级数的系数，称为基波频率。 建立方波信号的模型： 思考：如何建立连续周期方波信号？ = 1 \* GB3 ①预置一个周期内的方波信号： -A (-T/2t0) 一个完整周期内的信号表达式：= A (0tT/2) = 2 \* GB3 ②对方波信号以周期T进行平移： 通过以上的两个步骤我们可以建立一个连续周期方波信号，为降低方波信号分解与合成的复杂程度，可以预置方波信号为奇谐信号，此连续时间周期方波信号如下： 方波信号分解： 根据傅立叶级数分析，其三角函数展开式为： n=1，3，5，7，9…… 由以上可知道，周期方波信号可以分解为一系列的正弦波信号：4A/π*（sinω0t）、4A/π*（sin(3ω0t)/3）、4A/π*（sin(5ω0t)/5）、4A/π*（sin(7ω0t)/7）、4A/π*（sin(9ω0t)/9）……其中ω0为周期方波信号的基波频率，A为周期方波信号的幅值，此方波信号可以分解为各奇次谐波。 思考：奇谐信号如何分解为各奇次正弦波？ 方波信号合成： 对连续周期方波信号各谐波分量(基波分量、三次波分量、五次波分量……)分别进行求和运算，步骤如下： = 1 \* GB3 ①考查一个完整周期(0～2π)这段时间内的信号，画出结果，并显示。 = 2 \* GB3 ②画出基波分量，并显示，观察与原周期方波信号的误差大小。 = 3 \* GB3 ③将三次谐波加到第二步之上，画出结果，并显示，观察与原周期方波信号的误差大小。 = 4 \* GB3 ④将五次谐波加到第三步之上，画出结果，并显示，观察与原周期方波信号的误差大小。 = 5 \* GB3 ⑤将七次谐波与九次谐波加到第四步之上，画出结果，并显示，观察与原周期方波信号的误差大小。 思考：当，对各奇次谐波进行合成，会得到什么样的图形？ 【思考题】 在求解傅立叶级数中，实偶信号对应什么样的信号？实奇信号对应什么样的信号？奇谐信号对应什么样的信号？ 【MATLAB参考命令】 绘图命令：plot、subplot等 符号函数：sign(t)等 方波的定义： 方波是一种非 HYPERLINK /view/295487.htm \t _blank 正弦曲线的波形，通常会于电子和讯号处理时出现。 HYPERLINK /view/15579.htm \t _blank 理想方波只有“高”和“低”这两个值。电流的波形为矩形的电流即为方波电流。不论时间轴上下是不是对称的，只要是矩形就可叫方波。 方波的性质： 例，方波的图像： 二、对于方波的数学分析： 任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即： 或 （其中：T为周期，为角频率。称为基波频率；第一项为直流分量，为傅立叶级数的系数，称为基波频率） 对于上图图1所示方波，我们可以得到他的时域特性函数： ， （周期为T） 【此方波为奇函数，它没有常数项。数学上可以证明此方波可表示为： 】 化简后可得 ： 方波信号的合成: 对连续周期方波信号各谐波分量(基波分量、三次波分量、五次波分量……)分别进行求和运算，步骤如下： = 1 \* GB3 ①考查一个完整周期内的信号，画出结果，并显示。 运用MATLAB 7.0编辑程序： 程序如下： function [A_sym,B_sym] = signals syms t n k x; T = 5;tao = 0.2*T;a = 0.5; if nargin4;Nf = 6;end if nargin5;Nn = 32;end function x = uestcx(t) h = 1; x1 = sym(Heaviside(t+0.5))*h; x = x1-sym(Heaviside(t-0.5))*h; function y = uestce(t) a = 0.5;T = 5;h = 1;tao = 0.2*T;t= -8*a:0.01:T-a; e1 = 1/2+1/2*sign(t+tao/2); e2 = 1/2+1/2*sign(t-tao/2); y = h.*(e1-