生物数学模型第2讲-生物系统论--微分方程模型.pptVIP

参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm . 模型的参数估计、检验和预报 指数增长模型 阻滞增长模型 由统计数据用线性最小二乘法作参数估计 例：美国人口数据(百万) t 1860 1870 1880 … 1960 1970 1980 1990 2000 x 31.4 38.6 50.2 … 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4 r =0.2022/10年，x0 =6.0450 模型的参数估计、检验和预报 指数增长模型 阻滞增长模型 r=0.2557/10年，xm =392.0886 年 实际人口 计算人口 (指数增长模型) 计算人口 (阻滞增长模型) 1790 3.9 6.0 3.9 1800 5.3 7.4 5.0 … … … … 1960 179.3 188.0 171.3 1970 204.0 230.1 196.2 1980 226.5 281.7 221.2 1990 251.4 344.8 245.3 2000 422.1 指数增长模型 阻滞增长模型 用模型计算2000年美国人口 误差约2.5% 与实际数据比较(2000年281.4) =274.5 模型的参数估计、检验和预报 为作模型检验在参数估计时未用2000年实际数据 加入2000年数据重估模型参数 r=0.2490，xm=434.0 x(2010)=306.0 预报美国2010年人口 美国人口普查局2010年12月21日公布：截止到2010年4月1日美国总人口为3.087亿. 预报误差不到1%！ 考虑年龄结构和生育模式的人口模型 年龄分布对于人口预测的重要性. 只考虑自然出生与死亡，不计迁移. 人口发展方程 F(r,t)~人口分布函数 (年龄r的人口) p(r,t)~人口密度函数 N(t)~人口总数 rm(??)~ 最高年龄 人口发展方程 一阶偏微分方程 人口发展方程 O t r 定解条件 已知函数(人口调查) 生育率(控制手段) 生育率 f(t) 的分解 ?~总和生育率 h~生育模式 O k(r,t) ~(女性)性别比函数 b(r,t) ~(女性)生育数 [r1,r2]~(女性)育龄区间 人口控制系统 ~总和生育率——控制生育的多少 ~生育模式——控制生育的早晚和疏密 正反馈系统 滞后作用很大 输入 输入 输出 反馈 人口指数 1）人口总数 2）平均年龄 3）平均寿命 t时刻出生的人，死亡率按 ?(r,t) 计算的平均存活时间 4）老龄化指数 控制生育率 控制 N(t)不过大 控制 ?(t)不过高 5.7 烟雾的扩散与消失 现象和 问题 炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形 成圆形不透光区域. 不透光区域不断扩大，然后区域边界逐 渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失. 建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分 析消失时间与各因素的关系. 问题分析 无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程， 用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化. 观察到的烟雾消失与烟雾对光线的吸收、 以及仪器对明暗的灵敏程度有关. 模型假设 1）烟雾在无穷空间扩散，不受大地和风 的影响；扩散服从扩散定律. 2）光线穿过烟雾时光强的相对减少与烟雾 浓度成正比；无烟雾的大气不影响光强. 3）穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分， 明暗界限由仪器灵敏度决定. 模型建立 1）烟雾浓度 的变化规律 扩散定律：单位时间通过单位法向面积的流量q与浓度C的梯度成正比. 曲面积分奥-高公式 1）烟雾浓度 的变化规律 的微分形式，并利用积分中值定理 初始条件 Q~炮弹释放的烟雾总量 ? ~单位强度的点源函数 对任意t, C的等值面是球面 x2+y2+z2=R2， R??C? 仅当 t??, 对任意点(x,y,z), C?0 1）烟雾浓度 的变化规律 2）光强穿过烟雾时的变化规律 假设2）光强的相对减少与烟雾浓度成正比. I(l) ~ 沿l方向的光强， C(l) ~ 沿l方向的烟雾强度 记未进入烟雾(l?l0)时光强为 I(l0)=I0 3）仪器灵敏度与烟雾明暗界限 烟雾浓度连续变化 烟雾中光强连续变化 仪器 z -? ? 设光