《514三维情形》-课件设计（公开）.pptVIP

5.1.4 三维情形 * * 利用晶体的平移对称性，在简谐近似下三维复式晶格中原子的经典振动是可以严格求解的。当然，其求解的过程及中间结果的数学表达都极为复杂。其实，借助于对一维晶格振动规律和特征的认识，也不难合理地推断及理解三维晶格振动的规律和特征。 ：简谐近似下晶体中所有其它原子都处在各自的平衡位置上而只有第 仿照§5.1.２和§5.1.3中的分析方法，可以导出简谐近似下三维复式晶格的晶格振动方程 ：第l个初基元胞内的第α个原子t时刻沿 j方向偏离其平衡位置的位移 力常数 简谐近似：将晶体中相互作用极为复杂的原子简化成用各种不同弹簧两两连结在一起的小球 个初基元胞内的第 个原子沿 方向移动单位距离时作用在第l个初基元胞内的第α个原子上的力沿 j方向分量的负值 在简谐近似下当晶体中所有原子偏离各自的平衡位置做微振动时，作用在第l个初基元胞内的第α个原子上的力沿 j方向的分量 晶体中原子之间相互作用的总能量U： 于是，在简谐近似下 有 平衡晶格能量 ：晶体中所有原子处于各自平衡位置时原子之间相互作用的总能量，可以通过选取或改选原子之间相互作用能的零点使 其数值为零 显然有： ：与格矢原点的选取无关， 故有 即 假设： 于是有 即晶体中原子的这种振动位移等同于晶体做整体的刚性平移，晶体中的各个原子仍然处于力学平衡状态， 因此在简谐近似下可得到 因此有 以上关于力常数的三个关系式将使晶格振动方程的求解更为方便 如果选取Born-Von Karman边界条件，就可以抵消有限理想晶体的边界面对其平移对称性的破坏，从而使有限理想晶体显露出源于其微观结构周期性的内在禀性：平移对称性。在有限理想的三维复式晶格的情况下，Born-Von Karman边界条件为 按照与§5.1.2中相似的分析可以得到,三维复式晶格所具有的平移对称性,使得晶体中一个原子的振动位移与平衡位置相距为 其它 等价原子的振动位移以N个用简约波矢 来标记的可能相位因子 彼此关联 如果第l个初基元胞内的第α个原子的振动位移与其它等价原子的振动位移以一个用特定波矢 来标记的确定相位因子相关联， 则将它沿j方向的振动位移函数表示成 于是有 代入晶格振动方程后，通过进一步求解可以得到 这样，通过利用晶体的平移对称性，就得到了三维复式晶格中相应于波矢 的原子振动位移函数 或 表明：三维复式晶格中共同参与一个频率为 的简正振动的 所有等价原子，由于晶格所具有的平移对称性，使得他们的简谐振动彼此以波矢为 、频率为 的平面简谐波这种方式相关联 这个的平面简谐波，就是三维复式晶格振动的一个格波 格波的波矢： 共计N个 即 初基元胞内的s个原子共有3 s个振动自由度，其中有 3个振动自由度描述初基元胞内s个原子的质心振动，其余（3s－3）个振动自由度描述初基元胞内s个原子的相对振动 。 　初基元胞内s个原子质心振动的3个振动自由度体现为晶体中的3支声学支格波： 在长波极限（ ）下声学支格波的频率趋于零 初基元胞内s个原子相对振动的（3s—3）个振动自由度体现为晶体中的（3s－3）支光学支格波： 由此可知： 　　由于三维复式晶格中原子的多样性或原子之间相互作用的多样性以及原子振动的三维特点，使得三维复式晶格中的3sN个格波分成3支声学支格波和（3s－3）支光学支格波这3s支不同的格波，每支格波均由具有相同色散关系的N个波矢不同的格波所组成。 　　这3s支不同格波各自的色散关系，可分别由如下代数方程式 动力学矩阵元 的3s个解给出 个 动力学矩阵： 3s行3s列 利用 可得 称为力常数矩阵： 利用动力学矩阵： 由力常数的性质，可以证明动力学矩阵具有如下三个基本性质： （1）动力学矩阵是一个Hermite矩阵， （2）取 的复共轭等于 反向， （3）动力学矩阵具有倒格子周期性， 即 由此，导致格波的色散关系具有如下两个基本性质： （1）色散关系具有倒格子周期性， （２）色散关系在倒易空间中具有反演对称性 ， 即 即 即 即 　　三维复式晶格中参与同一简正振动的所有原子中，等价的原子因它们自身一样且物理环境相同而振动方向一致，不等价的原子因它们自身各异或物理环境不同而振动方向一般是不一致的。 初基元胞内的第α个原子参与一个频率为 振动方向可以由所谓的极化向量来确定 的简正振动的 原子分别