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轴对称 最短路径问题 人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册） 饮马问题 　　如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然后再到帐蓬B．问：在河边的什么地方饮水，可使所走的路径最短？ A B l A B l l A B C C 转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC+CB的和最小？ 分析： A B l 如果点A、B在直线l的异侧时 联想： l A B C 思考： 能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？ 分析： l A B C l A B C 作法及思路分析 1.作点B关于直线 l 的对称点B′ ，连接CB′。 ，问题可以转化为：当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？如上右图，在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此，线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求. l A B C B′ 2.由上步可知AC+CB=AC +CB′， 思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？ l A B C B′ C′ 略证： 试比较新路径与AB′的大小 结论： AC+CB这条路径最短． 根据前面的分析，我们认为的 最短路径是AC+CB=AC+C B′= AB′ 在直线 l 上取一个与 C点不重合的点C′ 新路径= A C′ + C′B =A C′ + C′B′ 问题1 归纳 l A B C l A B C B′ l A B C 转化为数学问题 用旧知解决新知 联想旧知 解决实 际问题 A B l 提示：本题也可作A点关于直线l的对称点 变式练习1 如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草， 然后到河边饮水，最后再回到马棚A. 草 地 小 河 A 问题：请你确定这一过程的最短路径. 如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,点M、N应该在 l1、l2的什么位置 ? l1 l2 A M N A’ A’’ 转化为数学问题 l1 l2 走A-M- N 路线最短. M N A’ A A’’ A B P Q l M N 变式练习2 如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草，再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天的最短路线。 l2 l1 P Q A B A’ B’ l1 l2 (3)两点在两相交直线内部 归纳小结 2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决 (2)一点在两相交直线内部 (1)两点在一条直线同侧 l1 l2 l1 l2 1.学了三种情况下的最短路径问题 （1）如图所示，A，B两点在直线l的一侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大． （2）若A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大． A B 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： * * 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： * *