第九章无穷级数.docVIP

PAGE PAGE 2 第九章 无穷级数 一、知识剖析 1、 知识网络 无穷级数的概念 数项级数的收敛和发散 无穷级数的概念和性质 无穷级数的基本性质 级数收敛的必要条件 数项级数 比较判别法 正项级数及其审敛法 比值判别法 交错级数 任意项级数 绝对收敛与条件收敛 幂级数的概念 幂级数的收敛半径与收敛区间 幂级数 幂级数的运算性质 函数的幂级数展开 函数的幂级数展开 幂级数应用举例 问题的提出 傅立叶级数的概念 三角函数系的正交性 周期为的函数展开为傅立叶级数 奇函数和偶函数的傅立叶级数 傅立叶级数 正弦级数与余弦级数 函数的周期性延拓 函数的周期性延拓 周期为的函数的傅立叶级数 傅立叶级数的复数形式 2、基本要求 2.1. 理解无穷级数收敛与发散的概念，理解无穷级数收敛的必要条件，知道无穷级数的基本性质。 2.2 熟悉几何级数与-级数的敛散性，掌握正项级数的比较判别法，熟练掌握正项级数的比值判别法。 2.3 掌握交错级数的审敛法，理解级数的绝对收敛和条件收敛的概念。 2.4 掌握简单的幂级数收敛域的求法，知道幂级数在收敛域内的性质。 2.5了解将函数展开成麦克劳林级数的直接展开法，知道 等函数的麦克劳林展开式，并能利用这些展开式将一些简单的函数展成幂级教。 2.6 了解三角函数系的正交性，掌握将周期为的函数展开为傅立叶级数。 2.7 掌握将奇函数和偶函数展开为傅立叶级数，了解函数的周期性延拓。 2.8 知道将周期为的函数展开为傅立叶级数的方法。 2.9 了解傅立叶级数的复数形式。 3、概念理解与方法掌握 无穷级数是进行函数研究和近似计算的重要工具，它在数学和工程技术中有着广泛的应用。本章先介绍无穷级数的基本知识，进而研究幂级数和傅立叶级数。 3.1 无穷级数的概念和分类 1）无穷级数的定义 无穷级数是无穷多项（常数或函数）相加的表达式： 2）无穷级数分类 级数中每一项均为常数称为常数项级数，若级数中每一项均为函数则称为函数项级数。 3.2 常数项级数 重点：判断常数项级数的敛散性，即级数的和是否存在 1） 利用定义 （1） 部分和 （2） 。发散的级数没有和 说明： = 1 \* GB3 ① 利用定义判断级数的敛散性，首先要求，即中学学过的数列的前项和的求法，用公式（如等差、等比数列）或找规律，然后求极限，用此种方法，对于收敛的级数可以求出它的和。 = 2 \* GB3 ② 很多情况下，部分和很难或无法求出，因此无法用定义判断其敛散性。因此，还要学习其他判断级数敛散性的方法。 = 3 \* GB3 ③ 实际中，若判断出级数收敛，即它的和存在但很难或无法求出时，常用其部分和近似代替。 余项： ，易知 ，即用级数的部分和近似代替所产生的绝对误差随着的无限增大而无限缩小。 因此，判断级数的敛散性比求级数的和更重要 2）利用无穷级数的性质 性质1 收敛级数各项乘以同一个常数，仍收敛；其和为