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第31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答 2014 一、（12分） （1）球形 （2）液滴的半径、密度和表面张力系数（或液滴的质量和表面张力系数） （3）解法一: 假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为① 式中，比例系数是一个待定常数. 任一物理量可写成在某一单位制中的单位和相应的数值的乘积. 按照这一约定，①式在同一单位制中可写成 由于取同一单位制，上述等式可分解为相互独立的数值等式和单位等式，因而② 力学的基本物理量有三个：质量、长度和时间，按照前述约定，在该单位制中有 ，， 于是 ③ ④ ⑤ ⑥ 将③④⑤⑥式代入②式得 即 ⑦ 由于在力学中、和三者之间的相互独立性，有 ⑧ ⑨ ⑩ 解为 ?将?式代入①式得 ? 解法二: 假设液滴振动频率与上述物理量的关系式为 ① 式中，比例系数是一个待定常数. 任一物理量可写成在某一单位制中的单位和相应的数值的乘积. 在同一单位制中，①式两边的物理量的单位的乘积必须相等 ② 力学的基本物理量有三个：质量、长度和时间，对应的国际单位分别为千克（kg）、米（m）、秒（s）. 在国际单位制中，振动频率的单位为，半径的单位为，密度的单位为，表面张力系数的单位为，即有 ③ ④ ⑤ ⑥ 若要使①式成立，必须满足 ⑦ 由于在力学中质量、长度和时间的单位三者之间的相互独立性，有 ⑧ ⑨ ⑩ 解为 ?将?式代入①式得 ? 评分标准：本题12分. 第（1）问2分，答案正确2分；第（2）问3分，答案正确3分；第（3）问7分，⑦式2分，?式3分，?式2分（答案为、或的，也给这2分）. 二、(16分) 解法一：瓶内理想气体经历如下两个气体过程： 其中，分别是瓶内气体在初态、中间态与末态的压强、体积、温度和摩尔数．根据理想气体方程，考虑到由于气体初、末态的体积和温度相等，有 ① 另一方面，设是初态气体在保持其摩尔数不变的条件下绝热膨胀到压强为时的体积，即 此绝热过程满足 ② 由状态方程有和，所以 ③ 联立①②③式得 ④ 此即 ⑤ 由力学平衡条件有 ⑥ ⑦ 式中，为瓶外的大气压强，是U形管中液体的密度，是重力加速度的大小. 由⑤⑥⑦式得 ⑧ 利用近似关系式：，以及 ，有 ⑨ 评分标准：本题16分．①②③⑤⑥⑦⑧⑨式各2分． 解法二：若仅考虑留在容器内的气体：它首先经历了一个绝热膨胀过程ab，再通过等容升温过程bc达到末态 其中，分别是留在瓶内的气体在初态、中间态和末态的压强、体积与温度． 留在瓶内的气体先后满足绝热方程和等容过程方程 ① ② 由①②式得 ③ 此即 ④ 由力学平衡条件有 ⑤ ⑥ 式中，为瓶外的大气压强，是U形管中液体的密度，是重力加速度的大小． 由④⑤⑥式得 ⑦ 利用近似关系式：，以及 ，有 ⑧ 评分标准：本题16分．①②式各3分，④⑤⑥⑦⑧式各2分． 三、（1）平板受到重力、拉力、铰链对三角形板的作用力NA和NB，各力及其作用点的坐标分别为： ，； ， ； ， ； ， 式中是平板质心到x轴的距离. 平板所受力 和（对O点的）力矩的平衡方程为 ① ④ ② ⑤ ③ ⑥ 联立以上各式解得， ， ， 即 ⑦ ⑧ ⑨ （2）如果希望在点的位置从点缓慢改变的过程中，可以使铰链支点对板的作用力保持不变，则需 ⑩ M点移动的起始位置为，由⑩式得 ? 或 ? 这是过点的直线. (*) 因此，当力的作用点的位置沿通过点任一条射线(不包含点)在平板上缓慢改变时，铰链支点对板的作用力保持不变. 同理，当力的作用点沿通过B点任一条射线在平板上缓慢改变时，铰链支点对板的作用力保持不变. 评分标准：本题20分．第（1）问14分，①式1分，②③④⑤⑥式各2分，⑦⑧⑨式各1分；第（2）问6分，⑩?式各1分，(*) 2分，结论正确2分. 四、（1）考虑小球沿径向的合加速度. 如图，设小球下滑至? 角位置时，小球相对于圆环的速率为，圆环绕轴转动的角速度为? ． C??R?z??? C ? ? R ?z ?? ? ?l r 同时，对应于圆环角速度?，指向OO?轴的小球加速度大小为