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PAGE PAGE 12 第二章 控制系统的数学模型 2-1 控制系统的时域数学模型-微分方程 一、教学目的和要求 通过本次课，使学生能够掌握根据系统的物理结构模型建立时域数学模型的方法，会利用拉氏变换的方法求解微分方程，了解非线性系统的线性化方法。 二、重点、难点 重点：线性控制系统微分方程的建立 难点：非线性微分方程的线性化 三、教学内容 1.线性定常系统微分方程的建立 1）引例 见课本例2-1，2-2 2）方法与步骤总结: （1）确定系统的输入、输出变量； （2）从输入端开始，按信号传递遵循的有关规律列出元件微分方程； （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； （4）整理，输入量项=输出量项。 通过例2-5作进一步深入讲解。 3）线性系统微分方程的一般形式 2.微分方程的求解 1）拉氏变换法求解微分方程的方法步骤 （1）考虑初始条件，对微分方程两端进行拉氏变换； （2）求出输出量的拉氏变换表达式； （3）求输出量的拉氏反变换，得到输出量的时域解. 具体见课本例2-6 2）运动的模态 (1)解的组成 由特解和通解组成。通解决定于方程的特征根，特解决定于输入量. (2)运动模态 微分方程通解的一般形式 称为微分方程所描述的运动的模态 当有多个输入信号同时作用于同一线性系统时，可利用线性系统的叠加性和均匀性，针对单个信号分别求解，最后把结果进行叠加。 3.非线性系统的线性化 利用小偏差线性化的数学处理: 静态工作点附近的泰勒(Taylor)级数展开 对于单变量函数，将非线性函数y= f（x），在其工作点展开成泰勒(Taylor)级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函数。 忽略二阶以上各项，可写成 2）对于具有两个自变量的非线性函数，设输入 量为x1(t)和x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作点为y0＝ f(x10, x20) 。 在工作点附近展开泰勒(Taylor)级数得 忽略二阶以上各项，可写成 四、小结 1.线性系统微分方程的建立 2.拉氏变换法求解微分方程 3.非线性微分方程的线性化 2-2 控制系统的复域数学模型 一、教学目的和要求 通过本次课，使学生理解传递函数的定义及性质，了解传递函数的特点。理解零极点对系统与系统性能的关系，熟悉典型元部件、典型环节的传递函数。 二、重点、难点 传递函数的定义及性质 零极点与系统性能的关系 三、教学内容 引入：微分方程尽管比较直观，但当系统结构或系统中的某个参数发生变化时，需要重新列解微分方程，给系统分析和设计带来不便。传递函数作为控制系统的另一种形式的数学模型，不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。 1.传递函数的定义及性质 1）定义 线性系统在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变 换之比。 线性定常系统微分方程的一般表达式: 在初始情况为零时，两端取拉氏变换： 移项后得： 2）性质 a传递函数是关于s的有理真分式m≤n,且所有系数均为实数。 b传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输入量无关。 c与微分方程具有相通性 d.G(s)的拉氏反变换是系统的脉冲响应 e仅表示输入量和输出量的数量关系，不代表系统的物理性质 3）典型元部件的传递函数 （1）电位器 （2）测速发电机或 （3）两相伺服电动机或 （4）无缘网络 2.传递函数的零、极点 1)零极点定义 ，i=1,2,．．．m,称为零点。 ，j=1,2,．．．n,称为极点。 2）零、极点的几何表示 在复平面上，零点用“○”表示，极点用“×”表示。 零、极点对系统性能的影响 极点受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态 零点不形成自由运动的模态，但影响各模态在响应中所占的比重。 同一系统中，与零点较近的极点所形成的模态在输出中所占的比重较小；不同系统中，零点距离虚轴越近，作用越明显。 3.传递函数的几种形式 1）传递函数的零极点表示形式 2）传递函数的时间常数表示形式 4.典型环节的传递函数 1）比例环节（放大环节/无惯性环节） 特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系。 典型电路 积分环节 特点：输出量随时间成正比地无限增加 典型电路 3）微分环节 特点：是积分环节的逆运算，其输出量反映了输入信号的变化趋势，实践中，理想的微分环节难以实现。 4）惯性环节 特点：只包含一个储能元件，使其输出量不能立即跟随输入量的变 化，存在时间上的延迟 5、一阶微分环节 6、振荡环节 特点：振荡的程度与阻尼系数有关。 典型电路： 7）二阶微分环节 四、小结 1.传递函数的定义及性质； 2.典型环节的传递函数 3.零极点定义，作用，两种表示式； 4.典型环节传递函数。 2-3(1) 控制系统的结构图