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微分方程模型 常微分方程 常微分方程是最简单的微分方程之一，也是在建模中经常使用的方程； 常微分方程就是各项系数为常数的微分方程； 微分方程的解就是满足这个式子的函数y=f(x,C)； Mathematica解常微分方程 DSolve[常微分方程,y[x],x] 功能：求常微分方程的通解y=f(x,C). DSolve[{常微分方程,初始条件},y[x],x] 功能：求常微分方程满足初始条件的特解. 例求 满足 Mathematica求极限 Limit[f[x],x－x0,Direction－±1] 功能：求函数f[x]在x0处的左,右极限. 例求 微分方程模型简介 微分方程模型是一种动态模型，用于描述对象某些随时间（或空间）而演变的变化规律； 微分方程模型主要通来导数和微分来描述对象的变化规律； 导数和微分反映的是对象的变化率问题； 鱼雷追击模型 一敌舰在某海域内沿着正北方向航行时，我方战舰恰好位于敌舰的正西方向1 公里处．我舰向敌舰发射制导鱼雷，敌舰速度位0.42 公里/分，鱼雷速度为敌舰速度的2倍。试问敌舰航行多远时将被击中？ 问题分析 鱼雷向敌舰追击的轨迹不是直线，但鱼雷的行驶方向(速度方向)始终指向敌舰； 行驶过程根据敌舰方位改变行驶方向(速度方向) ； 问题求解敌舰行驶多远能击中敌舰，而速度又是路程对时间的导数； 建立模型：变量假设 敌舰为动点 Q初始点为Q0(1,0)处, 鱼雷为动点P初始点为P0(0,0)处,如图所示: 敌舰的速度为v0,鱼雷的追击曲线为y=y(x) ； 建立模型：建立函数关系 由于鱼雷在追击过程中始终指向敌舰，而鱼雷的运动方向正好是沿曲线y=y(x)的切线方向，得到鱼雷总体运动方向方程： 鱼雷行驶的速度大小为2v0，而且可分为水平方向运动和垂直方向上的运动： 建立模型：函数关系化简 对(1)式两边同时对x求导得： (2)式化为： 代入得： 另有初始条件： 模型求解 求解过程见“鱼雷追击”文件； 其中%表示运用上次记算的结果，此处表示求得的y=y[x]鱼雷运动轨迹方程； /.{x→1}表示用1代替/.前边式子中的x； 求解结果表明，敌舰在行驶2/3mile后被击中，即一分钟后被击中； 人口增长模型1 人口增长的逻辑模型方程 是由生物学家Pierre Verhulst 在19世纪中叶提出的,这里的常数b相对于a是很小的,从而当人口总数很小时,关于p的二次项可以被忽略,人口总数近似于正比例增长,然而当人口总数很多时,二次项就会起作用以减慢人口增长速度. 人口增长模型评价 表示人口随时间的增长率； a0表示人口增长的基本倍数，如我国普遍实行计划生育，可以认为a=1； b0表示约束人口增长的条件，如资源，医疗等；人口少的时候，资源充足，二次项基本不起作用；当人口基数很大的时候，资源紧张，二次项就起减慢人口增长的作用了。 人口增长模型例子 试求a=2，b=0.005，初始人口为p0=1(千)时人口的变化情况； 传染病模型 传染病传播模型是用来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来的模型 人们不可能去做传染病传播的试验以获取数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全和不充分的，所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型。 SIS模型问题描述 有些传染病如流行性感冒、伤风等愈后免疫力很低，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人。 传染病的传播是有一定范围的，在传染病传播期内所考察地区的总人口数相对稳定。 SIS模型变量假设 传染病区总人口设为N； 传染病区人群分为健康者和病人，它们在人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 日接触率：每个病人每天有效传染的平均人数百分比λ，当病人与健康者接触，一部分健康者就会被感染变为病人； 日治愈率：每天被治愈的病人点总病人总数的百分比μ； SIS模型函数关系 每天新增病人数为： 每天被治愈的病人数为： 病人变化量为： 所以有： 模型求解 模型评价 当 表示传染病的日接触率日治愈率, i(t)0,反映传染病在蔓延,感染人数不断上升; 如SARS这类高传染性的传染病,日接触率远大于日治愈率, i(t)→1,反映传染病迅速爆发; 当 表示传染病的日接触率≤日治愈率, i(t)=0,反映传染病传染受到控制; 模型评价 隔离病人和在传染病爆发前对易感人群接种疫苗都是有效降低日接触率λ, 使σ减小,从而使病人比例减小; 研发特效药是有效提高日治愈率μ;使使σ减小,从而使病人比例减小; * * 在时刻t，鱼雷在点P(x,y)处，此时敌舰在点Q(1,v0t)处． （1） （2） 定义变量：