幂零矩阵的性质及的应用.doc

实用标准文案 精彩文档 MACROBUTTON MTEditEquationSection2 SEQ MTEqn \r \h \* MERGEFORMAT SEQ MTSec \r 1 \h \* MERGEFORMAT SEQ MTChap \r 1 \h \* MERGEFORMAT 幂零矩阵性质及应用 性质1：A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为0。 证明： 为幂零矩阵 令为A任意一个特征值，则 由引理7知，为的特征值 从而有=0即有 又有，知 为A的特征值。 由的任意性知，A的特征值为0。 的特征值全为0 的特征多项式为 由引理2知， 所以A为幂零矩阵。 得证 性质2：A为幂零矩阵的充要条件为。 证明：为幂零矩阵，由性质1，知： A的特征值全为0 即 由引理7，知 的特征值为 从而有 由已知， MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1) 令为A的不为0的特征值 且互不相同重数为 由（1.1）式及引理7，得方程组 MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT ( SEQ MTSec \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn \c \* Arabic \* MERGEFORMAT 2) 由于方程组（1.2）的系数行列式为 又互不相同且不为0， 从而知，方程（1.2）只有0解，即 即A没有非零的特征值 的特征值全为0， 由性质1，得 A为幂零矩阵 得证 性质3：若A为幂零矩阵 则A的若当标准形J的若当块为幂零若当块，且J和主对角线上的元素为0 证明：A为幂零矩阵， 由性质1，知 A的特征值全为0 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T，使得 其中阶数为 由引理4，知为J和特征值 又A与J相似，由引理6，知A与J有相同的特征值 所以 即J的主对角线上的元素全为0 由引理8，知 为幂零矩阵 得证 性质4：若A为幂零矩阵，则A一定不可逆但有 证明：为幂零矩阵， A一定不可逆 由性质1，得 A的特征值为 由引理7，得 的特征值分别为 且有 即 得证 性质5：若为幂零矩阵，则A非退化 证明：令为A的特征值 若A退化，则有 由引理7，得 至少存在=0为A的特征值 又由引理7，得 为的一特征值 这与为幂零矩阵矛盾 得证A为非退化 性质6：若A为幂零矩阵，B为任意的阶矩阵且有， 则也为幂零矩阵。 即与幂零矩阵可交换的矩阵也是幂零矩阵 证明：为幂零矩阵 又 也为幂零矩阵 得证 性质7：若A为幂零矩阵且， 则（1） （2） 证明： 即 任意，有 即有 性质8：若A为幂零矩阵且，则A不可对角化 但对任意的阶方阵B，存在幂零矩阵N，使得可对角化 证明：为幂零矩阵 且A的特征值全为零 为A的特征多项式且 令为A的最小多项式，则有 从而有 由于，又此时 即A的最小多项式有重根，由引理5，知 A不可对角化 为阶方阵 由引理3，知 在复数域上，存在可逆矩阵T，使得 其中阶数为 令 阶数为 则有阶数为 由引理8，知 即为幂零矩阵 现令 即 又D为对角阵，由（1）式知 可对角化 令N= 且取 则有 即有可对角化且N为幂零矩阵