抽象函数求定义域的处理方法.docx

抽象函数求定义域的处理方法 一、在刚开始学函数的时候，会遇到求函数定义域的问题，有一类问题是这样的： 1）?已知函数f(x)的定义域是[0,4]，求函数f(2x+1)的定义域 2）?已知函数f(2x+1)的定义域是[0,4]，求函数f(x)的定义域 ? 这类问题弄得刚上高中不久的学生一头雾水，掉进糊涂盆里就出不来了，后来想，我们可以把 f(?)看成工厂的生产加工， f是加工工序， x是原材料，原材料得满足一定的条件，就是定义域 （）内的是加工材料，（?）是对加工材料的限制，能进入（）的，必须满足（）的条件? 在1）中f(x)的原材料就是加工材料，所以加工材料满足的条件就是[0,4] 在f(2x+1)中，加工材料是2x+1，他必须满足[0,4] ? 在2）中f(2x+1)的定义域是[0,4]，即原材料x满足[0,4]，变成加工材料2x+1,那么加工材料的限制? 条件就成了[1,9], f(x)的原材料就是加工材料就是[1,9] ? ??? 这样处理起来比以前理想多了 二、先看下面一个例子 （1）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求f（x2+1）的定义域。（其中x2表示x的平方） （2）已知函数f（2x-1）的定义域为[0，1），求f（1-3x）的定义域。 解：（1）∵函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x ∴-1≤x2≤0 ∴x=0 ∴f（x2+1）的定义域为{0} （2）∵函数f（2x-1）的定义域为[0，1），即0≤x＜1 ∴-1≤2x-1＜1 ∴f（x）的定义域为[-1，1），即-1≤1-3x＜1 ∴0＜x≤2/3 ∴f（1-3x）的定义域为（0，2/3] 现在我的问题是：为什么函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x？我的参考书里说解此类题目的关键是注意对应法则，在同一对应法则下，不管接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约的条件是一致的，即都在同一取植范围内。那么，这个对应法则是什么，又是如何产生这个对应法则的？ 抽象函数的意思就是对应法则没有给出。 你所注意的是函数的定义域和值域。比方说，函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x，这是因为此时对应法则施加的对象是x2+1而不是x！！所以此时可以将x2+1看成是一个整体，令x2+1=t,则f(x2+1)=f(t),此时可以把f(x2+1)看成关于变量t的函数。实际上，这是一个复合函数即y=f(t),t=g(x)=x2+1，以后你会学到的。所以，这里说的整体法很重要，跟参考书上是一个意思。 第2题目更是体现了这一点。因为函数f（2x-1）的定义域为[0，1）是对于变量x而言，所以应先算出2x-1在[0，1）的值域，显然-1≤2x-1＜1 ，所以对于函数f（1-3x）有-1≤1-3x＜1 ∴0＜x≤2/3 ，f（1-3x）的定义域为（0，2/3] 当然是关于变量x的。 三、高一抽象函数：已知函数f(x2)的定义域是[1，2]，求f（x）的定义域。 已知函数f(x2)的定义域是〔1，2〕，求f（x）的定义域。 解：f(x2)的定义域是〔1，2〕，是指1≤x≤2， 所以f(x2)中的x2满足1≤x2≤4,从而函数f（x）的定义域是〔1，4〕 因为：函数中Y一直是应变量 而X一直是自变量 而一个函数的定义域一直是x的范围 若果这样不好理解 也可以把它当符复合函数做 设t=x2 定义域是[1，2] f(x2)=f（t） 也就是说在这个函数中t是自变量 决定定义域； 而t∈【1，4】 所以f（t）的定义域是【1，4】 而t当然可以换成x 所以就有以上答案