函数的奇偶性和周期性.docVIP

WORD格式可编辑 专业技术分享 函数的奇偶性与周期性（1课时） 函数的奇偶性定义 2.函数的周期性定义 (1)周期函数 判断函数的奇偶性 例1]　(1)下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝eq \r(x)　　　　　　　　 B．y＝ex C．y＝cos x D．y＝ex－e－x (2)下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝eq \f(1,x) B．y＝lg|x| C．y＝(x－1)2 D．y＝2x (3)函数f(x)＝eq \r(3－x2)＋eq \r(x2－3)，则(　　) A．不具有奇偶性 B．只是奇函数 C．只是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 方法 判断函数的奇偶性的三种重要方法 (1)定义法： (2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称． (3)性质法： ①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； ②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； ③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇． 练习 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝(x＋1) eq \r(\f(1－x,1＋x))； (2)f(x)＝lgeq \f(1－x,1＋x). 函数的周期性及应用 例2]　(1)下列函数不是周期函数的是(　　) A．y＝sin x　　　　　　　　 B．y＝|sin x| C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1) (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－eq \f(1,f?x?)，且当x∈0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________． 方法 (1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值． (2)判断函数周期性的几个常用结论． ①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|. ②f(x＋a)＝eq \f(1,f?x?)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期； ③f(x＋a)＝－eq \f(1,f?x?)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期． 练习 1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－eq \f(1,f?x?)”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2 019)＝________. 2．若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2 017)＋f(2 019)的值． 函数奇偶性的综合应用 例3]　(1)若函数f(x)＝eq \f(2x＋1,2x－a)是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为(　　) A．(－∞，－1)　　　　　　　　 B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞) (2)函数f(x)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5). ①确定函数f(x)的解析式； ②用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数； ③解不等式f(t－1)＋f(t)＜0. (3)已知f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x) C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x) 练习 1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________． 2．定义在R上的偶函数y＝f(x)在0，＋∞)上递减，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，则满足f(x)＜0的x的集合为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪(2，＋∞)　　 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1,2) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(2，＋∞) 3．已知函数f(x)＝－x＋log2eq \f(1－x,1＋x)＋1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))的值为(　　) A．2 B．－2 C