讲义-4-4极坐标和参数方程知识点和高考题汇编.docVIP

极坐标及参数方程知识点及例题 一、极坐标知识点 1．伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 3．点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为. 极坐标与表示同一个点。极点的坐标为. 4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。 如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。 极坐标与直角坐标的互化： (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式 6.曲线的极坐标方程： 1．直线的极坐标方程：若直线过点，且极轴到此直线的角为，则它的方程为： 几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点 （2）直线过点且垂直于极轴 （3）直线过且平行于极轴 方程：（1） 或写成及 （2） （3）ρsinθ=b 2．圆的极坐标方程： 若圆心为，半径为r的圆方程为： 几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点，r为半径 （2）当圆心位于(a0),a为半径 （3）当圆心位于，a为半径 方程：(1) (2) (3) 7.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线. 二、参数方程知识点 1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C上的点满足，该方程叫曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。 （在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。） 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 曲线的参数方程 （1）圆的参数方程可表示为. （2）椭圆的参数方程可表示为. （3）抛物线的参数方程可表示为. （4）经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）. 3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致. 规律方法指导：　　 1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。 极坐标方程典型例题 1．点P的直角坐标为(－eq \r(2)，eq \r(2))，那么它的极坐标可表示为________． 解析　直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．答案　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,4))) 2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 解析　∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0. 3．(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________． 解析　ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，))即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3π,4))). 4．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直线l的距离为________． 解析　∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs