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几何变换——捆绑旋转 【例题】如图， AB ? 4 ， O 为 AB 的中点， ?O 的半径是 1，点 P 是 ?O 上一动点，以 PB 为直角边的等腰直角 ?PBC （点 P，B，C 按逆时针方向排列），则线段 AC 长的取值范围 是 C O C P P A O B O B 宏观分析，整体思考： 为什么 AC 有“最值”之说？点 C 在运动．点 C 为什么在运动？因为点 P 在运动．点 B 是如 何运动？点 P 在一个圆上运动．点 P 的运动带动点 C 的运动．“如影随形”，“点动成线”．那 么如何研究点 C 的运动规律呢？联想研究函数图像变换，要研究线，只要研究点，“局部与 整体具有一致性”． （1）你将点 C 理解成由点 P 绕点 B 顺时针旋转 45? 且同时伸长 倍得到； （2）将点 P 与 ?O “捆绑”视作整体，即点 P 在作上述运动的时候，想想 ?O 因为“捆绑”而 随之运动， ?O 的运动结果是什么呢？“蜗牛背房子”，“牵一发而动全身”． （3）点 O 绕点 B 也顺时针旋转 45? 且同时伸长得到定点 O? ； （4）记住：旋转位似，相似必定成对出现．在前面的基础上，你会发现图形 ?OPB ∽ ?O?CB , 于是你又得到 O?C? OP ? ,即动点 C 到定点 O? 的距离为定值．也可以在对“位似” 进一步理解的基础上，直接理解成 ?O 放大 倍得到 ?O? ； （5）于是，动点 C 在以定点 O? 为圆心，半径为 的圆上运动． （6）在前面的基础上，再考虑 AC 长的取值范围就是小意思（常规题）啦． （悟：种瓜得瓜，种豆得豆） 一、自主学习 1．如图，△ ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，CD⊥AB 于 D，P 是 CD 上一个动点，以 P 为直角顶点向下作等腰直角△ PBE，连接 DE，求 DE 的最小值． C P A D B E 2．如图，点 O 为坐标原点，⊙O 的半径为 1，点 A（2，0）．动点 B 在⊙O 上，连结 AB， C作等边△ ABC（A，B，C 为顺时针顺序），求求 OC 的最大值与最小值． C y B O A x 3．如图，AB 是⊙的直径，点 C 在 AB 的延长线上，AB＝BC＝10，P 是⊙O 上一动点，连 接 PC，以 PC 为边作△ PCD，使∠PDC＝90°，tan∠DPC＝，P，C，D 三点为逆时针顺 序．连接 OD，则线段 OD 长的最小值是 ． 4．如图，平面直角坐标系中，A（－2，6），B（－5，2），M（0，5），点 P 是线段 AB 上一 个动点，PM⊥MN，且∠PNM＝30°，当点 P 从点 A 运动到点 B，点 N 也随之运动，点 N 在 运动中经过的路径长是 （ ） A．6 2 B．5 3 C．4 5 D．8 y A P M B N O x 5． Rt?ABC 中，?ACB ? 90? ， ?A ? 30? ， AC ? 6 ，D 是 AB 上一个动点，以 DC 为斜边作 等腰直角 ?DCE ，使点 E 和点 A 位于 CD 的两侧；点 D 从点 A 到点 B 的运动过程中： （1） ?DCE 周长的最小值； （2）求点 E 的移动路程． A C D E B 6．在平面直角坐标系中， A?2 ，0? 、 B ?0 ，3? ，过点 B 作直线//x 轴，点 P ?a ，3? 是直线上的 动点，以 AP 为边在 AP 右侧作等腰 Rt?APQ ， ?APQ ? Rt? ，直线 AQ 交 y 轴于点 C． （1）当 a ? 1 时，则点 Q 的坐标为 ； （2）当点 P 在直线上运动时，点 Q 也随之运动．当 a ? ? 时， AQ ? BQ 的值最小， 为 ． y Q B P O A x C 二、当堂检测 1.如图，△ ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，D 是 AB 上一个动点，以 DC 为斜边 作等腰直角△ DCE，使∠CED＝90°，点 E 和点 A 位于 CD 的两侧，连接 BE，求 BE 的最小 值． C A D B E 2.如图，点 O 在线段 AB 上，OA＝1，OB＝2．以点 O 为圆心，OA 长为半径的圆为⊙O．在 ⊙O 上取动点 P，以 PB 为边作△ PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝，P，B，C 三点为 逆时针顺序．连结 AC，求 AC 长的取值范围． 3.如图，A（－3，0），B（0，3），C（－1，4），P，C，M 逆时针顺序，动点 P 在线段 AB 上，∠C＝90°，∠CPM＝30°，则点 M 的运动路径长为 ． y M C B P A O x 4．（2013?湖州）如图，已