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实用标准文案 精彩文档 第四章 随机模拟 4.1 随机模拟与蒙特卡洛方法 模拟是把某一现实的或抽象的系统的部分状态或特征用另一系统（成为模型）来代替或模仿。模拟这个概念并不陌生，早在几千年前我国就出现了系统模拟的思想，中国象棋，便是模拟古代战争的一种游戏。军事上的军事地图、沙盘作业和实战演习等则是模拟两军对峙的活动情况。这种在实物模型上进行试验的模拟方法称为物理模拟。在生产管理中，为了研究和分析生产组织于管理问题，经常利用大量人力对生产过程中各种活动的状态进行动态记录，然后利用记录下的信息对生产过程进行重演，以便提出改进的技术组织措施。显然，这是一种“纸上模拟”方法。 人们利用构造的模型做试验，来学习、研究、分析原有的系统或设计新的系统。在模型上做的试验称为模拟试验，所构造的模型称为模拟试验。 以上这些模拟方法往往需要花费大量的人力物力。而在许多情况下，人工对复杂系统进行动态模拟简直是不可能的事情。电子计算机的出现大大改变了模拟方法的面貌。由于计算机具有数值计算与进行逻辑判断的能力，具有存储容量大、运算速度快的优点，再加上计算机软件的高度发展，因此模拟可以在计算机上进行。与此同时，人们对复杂系统的数量关系和逻辑关系的研究也取得了很大的进步，这使得计算机模拟在复杂系统或过程的研究中发挥着越来越重要的作用。 计算机随机模拟，是概率论、数理统计、计算数学和计算机科学等学科的一个交叉性、边缘性及应用性很强的学科分支。计算机随机模拟利用概率论、数理统计中提供的概率统计模型，在数字计算机上进行模拟计算、对试验观测数据或随机模拟数据进行统计分析或处理，给出实际问题性质的统计描述、统计预测和实时控制。计算机随机模拟在科学技术、国防建设、工农业生产以及社会科学等各方面有着广泛的应用。 在第二次世界大战期间，美国科学家冯·诺依曼（Von Neuman）和乌拉姆（Ulam）两人从事与研制原子弹有关的秘密工作，他们的具体工作是对裂变物质中子的扩散进行随机模拟。为必威体育官网网址起见，他们把正在进行的工作以赌城名蒙特卡洛作为秘密代号来称呼。蒙特卡洛（Monte Carlo）是摩纳哥国的一个城市，是世界闻名的赌城。用赌城名比喻随机模拟既风趣又贴切，得到人们的普遍接受。 蒙特卡洛方法的基本思想是把各种随机事件的概率特征（如概率分布、数学期望等）与数学分析的解联系起来，用试验的方法确定事件的相应概率与数学期望。因而，蒙特卡洛方法的突出特点是，概率模型的解是由试验得到的，而不是计算出来的。它可以解决其他方法无法解决的实际问题、对理论研究也可以起到补充及辅助作用。此外，使用蒙特卡洛方法模拟一个实际过程往往需要用大量随机数，计算量很大，人工计算是不可能的，只能在计算机上实现。因此，蒙特卡洛方法的广泛应用于计算机技术的发展是不可分割的。 从方法特征的角度来说，19世纪后半叶著名的蒲丰随机投针试验就是早期用随机试验求π值的范例。 蒲丰随机投针试验——古代的蒙特卡洛方法。 法国博物学家蒲丰（1707—1788），曾经研究这样一个问题：假设在平面上有许多平行直线（为方便计，假设它们之间的距离均为2d），向该平面上随机投一枚针（其长度为2l，l≤d），问：这一枚与任一平行直线相交的概率为多少？ 让我们把这个问题仔细考虑一下。针落在平面上的情况，可由针的中心点到最近平行线的距离以及针与平行线的夹角来决定。 如果针中点离平行线很近，角度又较大（如图4-1(a)所示），针便与平行线相交。如果情况相反，或者角度小（如图4-1(b)所示），或者距离大（如图4-1(c)所示），针就全部落在一条带子里。说精确些，设M为针的中点，两条平行直线分别为x轴与直线：y=2d。x为M与最近平行线的距离；θ为针与平行线的夹角。0≤x≤d，0≤θ≤π。如果针的一半长度在竖直方向的投影大于从针中点到最近平行线的距离，则针与平行线相交（如图(a)），反之则不相交（如(b)和(c)）。 事实上，我们已经看到（再看图4-1所示的3种情况），针中点离边界的距离如果小于半根针的竖直投影，则针就会与边界相交。这时，代表这个距离和角度的点在正弦曲线x=lsinθ之下。与此相反，针完全落在两条平行线之间时，相应的点在曲线之上。这样，可以给出针与平行直线相交的充要条件为：0≤x≤lsinθ。见图4-2。 于是，我们把原问题转化为如下问题： 在图4-2中的矩形区域S：0≤x≤d，0≤θ≤π里随机地投一个点，求点落入阴影区域 的概率p。由几何概率的求法的知，此概率为两个区域的面积之比，即 。 由微积分可计算得D得面积等于2。所以 如果的值已知，则以代入即可计算得出概率值p。反之，如果已知概率值p，则可以利用上式求π值。而概率值P可以用随机模拟的方法得到其近似值：假设投针N次，其中针与平行线相交n次，则概率n/N可作