第四章向量组的线性相关性.docVIP

WORD格式可编辑 专业知识分享 第四章 向量组的线性相关性 （注：此章所涉及的全部列向量都改为用表示） 一、计算题 1． 解：利用 得 2． 解：设 得 3．解：方法如上题， 4.解： 5.解： 6. 解： 7. 解： 8.解： 9.解：参考课本93页例11 10. 解：方法如上题， 11. 解： 12．解： 13． 解：通解 14．解：增广矩阵 ，因此有无穷多个解，其通解为 15．解： ，，无解 16.此题较难，不要求掌握。 解：非齐次方程组通解为其对应齐次方程组的基础解系再加上一个特解， 17、解：此题不要求掌握。 18.此题不要求掌握。 解：题中方程组与方程联立起来得到：三元四个方程的方程组， 此方程组有解推出其系数矩阵与增广矩阵的秩相同，作初等变换可得 19. 解：此题较难，不要求掌握 20.解： 21. 解： 22. 解：四个向量构成的矩阵记为A, 23.解：方法仿照21题 24.此题不要求掌握， 解： 存在初等矩阵则交换的第一行与第二行后的矩阵为 25. 解：因为 AB=0，所以B的列向量都是Ax=0的解， 由矩阵秩性质得 26. 解： 27.此题不要求掌握。 解：同解说明了解集空间相同，即解空间的基等价，也就是两个方程组基础解析等价。 二、证明题 1. 证明：（提示）作初等行变换只需证明=2 2. 证明：B组能由A组线性表示，但A组不能由B组线性表示。 证明：（提示）只需证 3. 证明：用反证法证明，假设向量组b1，b2 ，…，br线性相关，则由相关和a1，a2，…，ar线性无关以及无关的定义推出矛盾即可。 4. 参考课本90页例7 证明： 5. 此题不要求掌握。 证明： 6、此题不要求掌握。 证明： (2)证： 等式右边两个矩阵都是满秩的，故左边矩阵也为满秩 即线性无关。 7．此题不要求掌握。 证明： 所以 为可逆矩阵。 所以 为可逆矩阵。 8．此题不要求掌握。 证明：（1） 故得证 （2）若线性相关，则可设， 于是 即 三、解答题 1. 解： 2. 解： ．此题不要求掌握。 （1）证明： 假定，其中不全为零。则在诸中选出模最大的系数， 也就是，于是必有。（想一想为什么？） 考虑 的第m个坐标，即 移项得 由于， 与已知条件相矛盾 所以给定的向量组是线性无关的。 （2）证明：由（1）知A的行向量线性无关，所以A满秩， 作，则是t的多项式，从而是t的连续函数。易知， 若，由连续函数性质知存在，使。 但所对应的矩阵为，它的行向量满足（1）的条件， 从而应有，这就产生了矛盾。 所以必有，证毕。