概率论与数理统计第二章习题 (1).ppt

第二章 随机变量及其分布 这一章里我们介绍概率统计的一个非常重要的概念: 随机变量. 第一节 随机变量及其分布 1. 随机变量的概念 2. 随机变量的分布函数 3. 离散随机变量的概率分布列 4. 连续随机变量的概率密度函数 1. 随机变量的概念 为什么要引进随机变量? 该如何简化呢? 该例中引入随机变量的好处有哪些? 2. 随机变量的分布函数(Cumulative Distribution Function, 简称 cdf) 3. 离散随机变量的概率分布列 4.连续随机变量的概率密度函数(Probability Density Function, 简称 pdf) §2.1 作业 教材第75页 习题 1, 15, 16 它的图形是介于0,1间的阶梯函数, 它在X的每个取值点xi处有个跳跃, 其跳跃值恰为P(X=xi). (参看例二中F(x)的图形). 由X的概率分布列还可求得其分布函数: 例四(几何分布). 某射手每次射击的命中率为p, 现对一个目标连续射击, 直到射中为止. 设X为该射手命中目标时射击的次数, 求X的分布列和分布函数. 解: 显然, X是一个离散随机变量, 其可能取值为1,2,…. X的概率分布列为 k-1个 当 x1时, F(x)=P(X≤x)=0 或者用列表的方式给出 … pqk-1 … pq2 pq p P(X=k) … k … 3 2 1 k 现求其分布函数. 当1≤ x2时, F(x)=P(X≤x)=P(X=1)=p=1-q 当 2≤x3时, F(x)=P(X≤x)=P(X=1)+P(X=2) =p+pq=p(1+q)=1-q2 当 k≤xk+1时, F(x)=P(X≤x) =P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=k) =p+pq+…+pqk-1 =p(1+q+…+qk-1) =p(1-qk)/(1-q) =1-qk 故分布函数为 其中, [x]是对x取整, 即取小于或等于x的最大整数. 几何分布是较为常用的一种离散分布, 一般用来描述次数不限的伯努利试验中A事件“首次出现”的概率模型. 通常称为几何分布. 该例中X服从的分布: 之所以称为几何分布, 是因为分布列pqk-1正好组成一个几何级数. 除了上面介绍的离散型随机变量外, 还有另外一类随机变量, 即连续型随机变量, 如灯泡的寿命, 等候公共汽车的时间等. 它们的取值是非离散的, 充满了某一实数区间. 是不是也可以用概率分布列的方式去描述其概率分布呢? 首先连续随机变量的取值是不可列的, 没法象分布列那样以可列的方式定义每个值的概率. 答案是否定的. 其次, 一个连续随机变量取每个值的概率等于0, 所以研究其取每个值的概率是平凡的. 其原因是 对于任意x0, 根据分布函数的性质有 P(X=x0)=F(x0)-F(x0-0), 又根据连续随机变量的定义, F(x)连续, 所以F(x0)=F(x0-0), 所以P(X=x0)=0. 定义: 设随机变量X的分布函数为F(x), 如果存在一个非负可积函数p(x), 使得对任意实数x, 对于连续随机变量, 我们常用其概率密度函数来描述其概率分布. 则称X为连续随机变量, 称p(x)为X的概率密度函数, 简称密度函数. 由定义知, 在F(x)导数存在的点上有 即概率密度函数是分布函数的导数. 密度函数p(x)的两条基本性质: 基于这两条性质, 从图形上看, 密度函数曲线y=p(x)位于x轴上方, 且与x轴之间的面积等于1. 这一结果有直观的几何意义: X落在(x1,x2]之间的概率恰好等于密度函数曲线下与x轴在(x1,x2]上包围的面积. 例如:如果X的密度函数为p(x), 则对任意x1,x2(x1x2)有 **借助于密度函数, 我们可以计算关于变量X的概率. **由于连续随机变量取任意一点的概率恒为0, 从而在事件“a≤X≤b” 减去X=a或者X=b, 不影响概率, 即 **由定义可看出, 连续随机变量的分布函数一定是连续函数, 而密度函数只是非负可积, 未必一定连续. 事实上, 对于一个连续的密度函数, 任意改变其中一点的数值, 得到的不连续函数仍然是密度函数, 因为其积分值不变. 由此可知, 密度函数p(x)在x处的值反映了随机变量X在x附近取值的概率的大小, 相比于概率分布列p(xi)反映一个离散变量X在xi处取值的概率的大小, 两者是很相似的. 为什么这么说呢? **密度函数