第二次建模作业.doc

PAGE PAGE 1 人体血糖浓度的稳定性 摘要：本文主要讨论人体血糖浓度在注射速率、血液容积以及人体组织吸收共同作用下的稳定性。 针对问题一，建立血糖浓度的变化率与注射速率、血液容积以及血糖浓度的非齐次线性微分方程模型。在血液容积不变，注射速率系数、注射速率和人体组织吸收系数分别是固定的常数的情况下，通过逐步微分法和极限的方法对方程的求解，求出了血液浓度关于时间的函数，进一步求出稳定点，对血糖浓度的稳定性进行讨论，此时，血液浓度是稳定的。 针对问题二，建立血液容积关于时间的函数，进而得到血糖浓度变化率与注射速率、血液容积和血糖浓度的微分方程，利用数学分析中求稳定点的方法，先求解出血糖浓度关于时间的一阶、二阶导数，进而对血糖浓度的稳定性进行讨论。当血液容积随注入溶液而增加时，血糖的浓度处于不稳定状态。 针对问题三，建立血液容积关于排泄速率、吸收速率、时间的函数，得到血糖浓度的变化率与注射速率、血液容积以及血糖浓度微分方程模型。利用数学分析中求稳定点的方法，先求出血液浓度的一阶、二阶导数，再进行稳定性的讨论，此时，在不同条件下，血液浓度的稳定性，需要分情况说明。 关键词：血糖浓度 血液容积 注射速率 微分方程模型 稳定性 一、问题的重述与分析 通过对题目的分析，这个问题需要建立一个微分方程模型，在题目不同的条件下，要求对人体血糖浓度的稳定性进行讨论。 问题的重述 在人体注射葡萄糖时，血糖浓度的增加率会随着时间与注射速率成正比，与血液容积成反比，注射速率越大，血糖浓度增加率越大，血液容积越大，血糖浓度增加率越小；由于人体组织的吸收作用，血糖浓度的减少率与血糖浓度本身成正比，血糖浓度越大，那么血糖浓度减少率越大。 第一问，在假定血液容积恒定不变的情况下，把血液容积看作一个固定的正实数，当时间趋于无限大的时候，对血糖浓度的稳定性进行讨论；第二问，血液的容积随注入溶液而增加，随着时间和注射速率的改变而改变，在这种情况下，当时间趋于无限大的时候，对关于血糖浓度的微分方程的稳定性进行讨论；第三问，考虑到人体排泄等因素，此时,血液的容积的增加具有极限值，随着时间的改变，对血糖浓度的稳定性进行讨论。 1.2 问题的分析 在实际生活中，人体注射葡萄糖溶液时，注射速率不能无限大，血液的容积也不能无限大，正常人体血糖的浓度在一个范围内变动。在这里，为了简化问题的分析，约定注射速率为正常注射速率且是一个固定的正实数，而血液容积不能超过某一个最大值，血糖的浓度随时间的变化是有界的。再根据血糖浓度增加率与注射速率、血液容积以及血糖浓度之间的关系，可以建立一个关于血糖浓度变化率、血糖浓度、血液容积、注射速率的非齐次线性微分方程模型。 在血液容积恒定不变的情况下，把血液容积看作一个固定的正实数，根据所建立的微分方程，求解出血糖浓度关于时间的函数，进一步求解出稳定点，对血糖浓度的稳定性进行讨论。 在血液的容积随着溶液的注入而增加时，此时血液的容积是一个关于时间的函数，根据建立的微分方程，运用数学分析中求稳定点的方法，求出血糖浓度的稳定点以及关于时间函数，进一步对稳定性进行讨论。 在考虑人体排泄等因素时，血液的容积增加具有极限值，此时，血液容积与注射速率，排泄的速率有关，根据所建立的微分方程，求解出血糖浓度以及稳定点，进一步进行稳定性的讨论。 二、基本假设 1.假设对血糖浓度稳定性讨论的对象是正常人体； 2.假设主要考虑注射速率，血液容积，血糖浓度本身对血糖浓度的影响，忽略其他次要因素； 3.假设血糖浓度随时间改变是连续可微的； 4.假设注射速率是一个恒定的正实数； 5.假设时间的无限大是相对的而不是绝对的。 三、符号表示 表1 符号变量以及说明 符号变量名 符号含义 任意时刻 时间的变化量 刚开始时血糖的浓度 时刻血液中葡萄糖的浓度 开始时刻血液的容积 血液最大容积 时刻血液的体积 恒定的血液容积 血糖浓度的变化率 注射速率 注射速率系数 体积系数 血糖减少系数 排泄速率 考虑排泄等因素影响时，血液容积的增加量的极限值 四、模型的建立 根据血糖浓度的增加率与注射速率、血液容积1/之间的正比关系，血糖浓度的减少率与血糖浓度本身的正比关系，建立以下数学模型。 4.1血液容积为恒定常数时，血糖浓度的稳定性 当血液容积恒为常数时，本文采用微分思想建立数学模型。 设血糖浓度的变化率为，那么， 则 ， 从而有 (1) 人体注射葡萄糖溶液时，血糖浓度的增长率与注射速率成正比， 那么 (