数学竞赛跟自主招生章节义：波利亚的“怎样解题表”跟解题策略.pdf

数学竞赛与自主招生讲义 整理、编写：孟伟业 “怎样解题表”与数学解题策略 班级：高二（ ）班 姓名： 时间： 月 日 一、波利亚的“怎样解题表” 乔治·波利亚(George Polya，1887～1985)是美籍匈牙利数学家、数 学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规 律，亦译为探索法)现代研究的先驱．由于他在数学教育方面取得的成 就和对世界数学教育所产生的影响，在他 93 岁高龄时，还被ＩＣＭＥ （国际数学教育大会）聘为名誉主席． 　　作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合 数学、计算和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了 以“波利亚”命名的定理或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中 的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等 书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷文集，在未来的许多年里， 将是研究生攻读的内容． 　　作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》 (1945年) 、《数学与似真推理》(1954年) 、《数学的发现》(1962年)三部 世界名著上，涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域．波 利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的，而在 尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班” 中对教师现身说法．他的 1 数学竞赛与自主招生讲义 整理、编写：孟伟业 著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过 程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”， 而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践， 总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作 用．他所总结的模式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、 分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目特标、 归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等，都在解题中行 之有效．尤其出色的是，他将上述的模式与方法设计在一张解题表中， 并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意义．著名数学 家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过：“每个大学生、每个学 者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2 日) ． 2 数学竞赛与自主招生讲义 整理、编写：孟伟业 表1 波利亚的“怎样解题表” 理解题目 △未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？ 第一步 △可能满足什么条件？ 了解问题 △画一个图，引入适当的符号. △将条件与结论在自然语言、符号语言以及符号语言之间进行转换 拟定方案 △你以前曾见过它吗？ △你知道与此有关的问题吗？ 第二步 △注视未知数！试想出一个有相同或相视未知数的熟悉的问题. 找出已知数和 △这里有一个与你有关且以前解过的问题. 未知数间的关 你能应用它吗？ 系. 假使你不 你可以改述这个问题吗？ 能找出关系， 回到定义！ 就得考虑辅助 △你若不能解这个题，试先解一个有关的问题. 你能想出一个更容易 问题. 着手的有关问题吗？一个更一般的问题？一个更特