《实变函数论与泛函分析(曹广福)》1到5章课后习题答案.doc

第一章习题参考解答 第一章习题参考解答 PAGE PAGE 10 第一章习题参考解答 等式(A ? B) ? C ? A ? (B ? C) 成立的的充要条件是什么？ 解： 若(A ? B) ? C ? A ? (B ? C)，则 C ? (A ? B) ? C ? A ? (B ? C) ? A . 即， C ? A . 反过来, 假设 C ? A , 因为 B ? C ? B . 所以, A ? B ? A ? (B ? C) . 故, ( A ? B) ? C ? A ? (B ? C) . 最后证， A ? (B ? C) ? (A ? B) ? C 事实上， ?x ? A ? (B ? C) , 则 x ? A 且 x ? B ? C 。若 x ? C ，则 x ?(A ? B) ? C ； 若 x ? C ，则 x ? B ，故 x ? A ? B ? (A ? B) ? C . 从而, A ? (B ? C) ? (A ? B) ? C . C ? (A ? B) ? C ? A ? (B ? C) ? A ? ? ? A . 即 C ? A . 反过来，若 C ? A ，则 因为 B ? C ? B 所以 A ? B ? A ? (B ? C) 又因为C ? A ， 所以C ? A ? (B ? C) 故 (A ? B) ? C ? A ? (B ? C) 另一方面，?x ? A ? (B ? C) ? x ? A 且 x ? B ? C ，如果 x ? C 则 x ?(A ? B) ? C ； 如果 x ? C, 因为 x ? B ? C ，所以 x ? B 故 x ? A ? B . 则 x ?(A ? B) ? C . 从而 A ? (B ? C) ? (A ? B) ? C 于是， (A ? B) ? C ? A ? (B ? C)  ?1,  x ? A 对于集合 A，定义 A 的特征函数为 ? A (x) ? ? ?0, x ? A ， 假设 A1 , A2 ,?, An ?是 一集列 ，证明： ?liminf A  (x) ? lim inf ? A (x) n n n n ?limsup A (x) ? lim sup ? A (x) n n n n 证明：（i） ?x ? lim inf An ? ? ( ? An ) ， ? n0 ? N ， ?m ? n0 时， x ? Am . n n?N m?n 所以 ? A (x) ? 1，所以 inf ? A (x) ? 1故lim inf ? A (x) ? supinf ? A (x) ? 1 m m?n0 m n n b?N m?n m ?x ? lim inf An ? ?n ? N ，有 x ? ? An ? ?kn ? n n m?n 有 x ? Ak ? ? A ? 0 ? inf ? A (x) ? 0 ，故 sup nfi ? A (x) ? 0  ，即 limnfi  ? A (x) =0 ， m kn m?n m b?N m?n m n n 从而 ?liminf A (x) ? lim inf ? A (x) n n n n  i?1 ?设{An } 为集列， B1 ? A1 ， Bi ? Ai ? ? Aj (i ? 1) 证明 ? j 1 {Bn } 互相正交 n n ?n ? N, ? Ai ? ? Bi i?1 i?1  n?1 ?证明：（i）?n, m ? N, n ? m；不妨设nm，因为 Bn ? An ? Ai ? An ? Am ，又因 ? i?1 mm为 B ? A m m ，所以 B ? A ? A ? A ? B ， 故 B ? B ? ? ，从而 ?B }?  相互正交. nnmnmnmnn?1n n n n n m n m n m n n?1 （ii）因为 ?i(1 ? i ? n)，有 Bi ? Ai ，所以? Bi ? ? Ai ，现在来证： ? Ai ? ? Bi 当n=1 时， A1 ? B1 ； i?1 i?1 i?1 i?1 n n 当 n ? 1时，有： ? Ai ? ? Bi i?1 i?1 n?1 n n?1 n n n 则 ? Ai ? (? Ai ) ? An?1 ? ( ? Ai ) ? ( An?1 ? ? Ai ) ? (? Bi ) ? (Bn?1 ? ? Bi ) i?1 i?1 i?1 i?1 i?1 i?1 i i i ? ?0 i 事实上， ?x ? ? A ，则?i(1 ? i ? n) 使得 x ? A ，令i ? min i |