2019届高三数学备考冲刺140分问题04-函数中的存在性和恒成立问题.docVIP

一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享 (1) 设,（1）上恒成立；（2）上恒成立. (2) 对于一次函数有： (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域． (4) 利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤: = 1 \* GB3 ①将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式； = 2 \* GB3 ②求在上的最大（或最小）值； = 3 \* GB3 ③解不等式(或) ,得的取值范围. (5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围. (6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果. 三、知识拓展 (1)恒成立问题 = 1 \* GB3 ①. ?x∈D,均有f(x)A恒成立,则f(x)minA； = 2 \* GB3 ②. ?x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)maxA ； = 3 \* GB3 ③. ?x∈D,均有f(x) g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) 0,∴ F(x)min 0； = 4 \* GB3 ④. ?x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) 0,∴ F(x) max 0； = 5 \* GB3 ⑤. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) g(x2)恒成立,则f(x)min g(x)max； = 6 \* GB3 ⑥. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) g(x2)恒成立,则f(x) max g(x) min. (2)存在性问题 = 1 \* GB3 ①. ?x0∈D,使得f (x0)A成立,则f(x) max A； = 2 \* GB3 ②. ?x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则 f(x) min A； = 3 \* GB3 ③. ?x0∈D,使得f(x0) g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),∴ F(x) max 0； = 4 \* GB3 ④. ?x0∈D,使得f(x0) g(x0)成立,设F(x)= f(x)- g(x),∴ F(x) min 0； = 5 \* GB3 ⑤. ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立,则f(x) max g(x) min； = 6 \* GB3 ⑥. ?x1∈D, ?x2∈E,均使得f(x1) g(x2)成立,则f(x) min g(x) max. (3)相等问题 若f(x)的值域分别为A,B,则 = 1 \* GB3 ①. ?x1∈D, ?x2∈E,使得f(x1)=g(x2)成立,则； = 2 \* GB3 ② ?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1)=g(x2)成立,则. (4)恒成立与存在性的综合性问题 = 1 \* GB3 ①?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立,则f(x)min g(x) min； = 2 \* GB3 ②?x1∈D, ?x2∈E, 使得f(x1) g(x2)成立,则f(x) max g(x) max. 四、题型分析 解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等. (一) 函数性质法 【例1】已知函数f(x)＝x3－ax2＋10,若在区间[1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)0成立,求实数a的取值范围． 【分析】本题实质是存在性问题 【点评】 解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系；解法二是用的参数分离,由于ax2x3＋10中x2∈[1,4],所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论． 【牛刀小试】【2017山西大学附中第二次模拟】设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】