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第三章 一元积分学 第三节 定积分值的估计及不等式 定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识 （微分学的知识， 积分学的知识等）也很多。总的说来： （1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单 的不等式也是有用的： b b （i ）若f (x)  g(x) (x [a, b]) ，则 f (x)dx  g(x)dx .   a a b b （ii ）| f (x)dx | | f (x) | dx .   a a d b （iii ）若f (x)  0 (x [a, b]), a  c  d  b ,则 f (x)dx  f (x)dx .   c a b b b (iv)(柯西不等式)[ f (x)g(x)dx]2   f 2 (x)dx g 2 (x)dx a a a (2)主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法. (3)利用二重积分、级数等．值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程 中往往要用到各种知识和方法． 2 sin 2 例１．判断积分 x dx 的符号 0 分析：这个积分值是求不出来的．如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的 符号很容易判断．如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情 况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值 （实际上是比较积分值的绝对值）．本题中被积函数sin x 2 在积分区间上有正、有负，先作 2 2 2 1 2 sin t 换元：t  x ，把积分变为 sin x dx   dt 后，问题更清晰，因而想到 0 2 0 t 2 2 1 2 sin t 1  sin t 2 sin t  sin x dx  dt  ( dx   dt) 0 2 0 t 2 0 t  t 至此积分的符号凭直觉已经能判断了．但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分的积 分区间不一样，为了方便比较，应将两个积分放