环的零因子图-基础数学专业论文.docxVIP

J ? 图 论 是 始 于1736年 的 古 老 学 科, 他 的 研 究 对 象 是 一 个 集 合 连 同 其 上 二 元 关 系 所 形成的模型. 代数结构是代数学研究的本质问题. 对于代数结构特别是环结构的研 究产生了古典环论和以同调方法为工具的现代环论. 运用图论研究代数结构是一个 新 的 研 究 方 向, 其 中 零 因 子 图 方 法 起 始 于1988年 的 文 献[1]和1993年 的 文 献[2]. Beck, Andserson和N aseer分 别 在 上 述 两 文 中 研 究 了 环 的 零 因 子 图 的 染 色 问 题, 这 里 的 图 的 顶 点 是 环 的 全 部 零 因 子. 零 因 子 图 的 广 泛 研 究 开 始 于1999年 的 文 献[3]. 该 文 中 定 义 了 如 下 的 零 因 子 图Γ(R): Γ(R)的 顶 点 是 环R的 全 体 非 零 零 因 子, 对 于 任 意 不 同 的a, b ∈ Z?(R)(Z?(R) = Z(R)\0), a与b相邻当且仅当ab = 0.即, V (Γ(R)) = {x ∈ Z?(R)|存在y ∈ Z?(R), xy = 0} x ? y(x和y相邻)当且仅当xy = 0 本文中的零因子图全部采用这种定义方式. 以下是几个简单的零因子图的例子: 例: 环Z4和Z2[x]/(x2)的零因子图为: ? 环Z2 × Z2, Z9和Z3[x]/(x2)的零因子图为: ? ? 环Z4 × Z4的零因子图为: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 前 言  PAGE 3 零因子图的研究已经得到了许多优美的结果, 比如: 文献[4]中证明了当R是reduced环 时, R的零因子图的团数与R的krull维数及R的亲普的胞腔度是一致的. 文献[5]中确定了 零因子数小于等于32的环的结构. 事实上, 零因子图的研究已经延伸到许多方向. 诸如: 环的各类扩张, 如文献[6]中对于多项式,形式军级数扩张的零因子图的关系的研究; 环的 直积,肩环以及理想的二倍共合积的零因子图的研究, 可参见文献[7-9]; 拓扑方法及拓扑 零因子图, 如文献[4]和文献[10]通过对环的亲普及亲普构造的zariski拓扑研究零因子图, 另外文献[11]研究了亏格1的零因子图; 有向零因子图及可平面零因子图, 显然非交换环和 半群的零因子图是有向图, 可见文献[12-14],可平面图的研究可见[15-17]; 半群的零因子图 及零因子图的染色方法和计算机辅助研究以及图同构时考虑环是否同构等也是零因子图 研究的重要组成部分, 可见文献[18-21]. 本文从四个方面研究零因子图. 首先第一节我们将文献[6]对多项式和形式军级数环 零因子图的研究推广到广义军级数环上. 第二节, 我们从零因子图的半径与环的亲普及 环直积的零因子图的半径两个方面研究零因子图的半径. 第三节我们给出了完全r-分图 的伴随零因子半群的计算公式并证明了带悬挂点的完全r-分图K2,2,...,2,2没有伴随零因子 半群. 最后我们讨论了无限二分零因子图中包含有限度点时环的结构. 如果没有特别注明,本文中的环和半群都是有单位元且交换的, 图是简单图. 下面我们给出本文中用到的图论和环论的基本知识和记号. 我们记环R的零因子为Z(R),记Z(R)? = Z(R)\{0}. 环R的零因子图(记作Γ(R))的 顶点定义为R的非零零因子. 对于不同的a, b ∈ Z(R)?, a与b相邻当且仅当ab = 0. 如 果a与b相邻,则我们记为a ? b. 我们记环R的零因子图的顶点集为V (Γ(R)), 则V (Γ(R)) = Z(R)?. 图Γ(R)中, 我 们 把 与 点v相 邻 的 点 的 个 数 称 为v的 度, 记 做deg(v). 特 别 地, 我 们 称deg(v) = 1的点为悬挂点, deg(v) = 0的点为孤立点. 我们将环R中的点x的零化子记 为(0 : x), 即(0 : x) = {y|yx = 0, y ∈ R}. 若 图Γ(R1)和Γ(R2)的 顶 点 之 间 有 一 一 对 应 关 系, 且Γ(R1)中 任 何 一 对 相 邻 顶 点 在Γ(R2)中的对应点也是相邻的, 则我们称Γ(R1)和Γ(R2)是同构的. 图Γ(R)称为完全图, 如果任何一对顶点都相邻. n个顶点的完全图记作Kn. 如果图Γ(R)的顶点可以分为两个互不相交的子集X和Y , 又图Γ(R)的任何一条边 的两个端点分别在X和Y 中, 那么就称Γ(R)为二分图. 完全二分图是指X中的每一个顶  点和Y 中每一个的顶点都相连. 如果|X| = m, |Y