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高二年级数学竞赛决赛试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本题共20道小题，每小题分，共0分） 1.已知集合M={0,1}，则下列关系式中，正确的是（ ） A．{0}∈M B．{0}M C． 0∈M D．0M 2.点为所在平面外一点,,垂足为,若，则点是的（ ） A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 3.已知集合，，则（ ）A． B．[0,+∞) C． D． 4.已知等差数列的公差，前项和为，若对所有的，都有，则A. B. C. D. 5.若关于x的方程的一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，则实数m的取值范围为（ ） A．(－4,－2) B．(－3,－2) C．(－4,0) D．(－3,1) 6.已知在各项为正数的等比数列中，与的等比中项为4，则当取最小值时首项等于（ ）A．32 B．16 C．8 D．4 7.，满足，则关于的方程有实数根的概率是（ ） A． B． C． D． 8.下列函数中，最小值为4的是（　　）A．B． C．D． 9.的图象向右平移个单位长度所得图象对应的函数 (A)在区间上单调递增上单调递上单调递增上单调递10.一个球受热膨胀，表面积增加21%，那么球的半径增加了（ ）． A． B． C． D． 1.如图，点O为正方体ABCD-ABCD的中心，点E为面BBCC的中心，点F为BC的中点，则空间四边形DOEF在该正方体的面上的正投影不可能是（ ） A. B. C. D. 12.已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是( ) A. ?1 B. +1 C. 2 D. 2? 13.在四面体中， ，二面角 的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是 A． B． C． D． 14.若，满足，则的最小值为（ ） A．－2 B． C．4 D．15.直线与圆交于不同的两点A、B，O是坐标原点，，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 16.已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，，如果关于的方程有解，记所有解的和为，则不可能为（ ）A． B． C. D． 17.是的重心，，，分别是角的对边，，则角（ ）A．90° B．60° C． 30° D．45° 18.若函数为定义域D上的单调函数，且存在区间[a，b]D（其中a＜b），使得当x[a，b]时，的取值范围恰为[a，b]，则称函数是D上的正函数.若函数是(－∞,0)上的正函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C. D． 19.已知椭圆和圆，当实数在闭区间内从小到大连续变化时，椭圆和圆公共点个数的变化规律是（）． A．，，，，，， B．，，，，C．，，，， D．，，，，，，，，，，20.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则的取值范围是（　　） A．[，1] B．[，1] C．[，] D．[，1] 解答题（本题共道题,第1题0分,第2题0分,第3题0分） 21.已知无穷数列前项和为，满足，（是常数）.(1)若，求数列的通项公式；(2)若，且，求数列的前项和；(3)试探究满足什么条件时，数列是公比不为-1的等比数列. 2.平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上. 求椭圆的方程； 过椭圆上一动点的直线，过与轴垂直的直线记为，； 设直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值. 若连接并延长与直线相交于点，椭圆的右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的取值范围. 23.如图，已知椭圆的为，焦距为. （1）求椭圆的方程； （2）过定点作直线与椭圆交于点（异于椭圆的左、右顶点）两点，设直线与直线相交于点. ①若，试求点的坐标； ②求证：点始终在一条直线上. 试卷答案 1.C 由题可知：元素与集合只有属于与不属于关系，集合与集合之间有包含关系，所以可得正确，故选C． 2. 3. C ， ∴ 故选：C 4. 分析：由，都有，再根据等差数列的性质即可判断.